Question

Решите уравнение    сos2x-2+18×3^x-3^(x+2)×cos2x=0

Answer 1

-2+2*3^(x+2)+cos(2x)-3^(x+2)*cos(2x)=0

Answer 2

Дано уравнение:

cos(2x) - 2 + 18*3^(x) - 3^(x+2)*cos(2x) = 0

Перенесем все слагаемые на одну сторону и приведем подобные:

cos(2x) - 3^(x+2)cos(2x) = 2 - 183^(x)

Факторизуем выражение слева:

cos(2x)(1 - 3^(x+2)) = 2 - 183^(x)

Разделим обе части на (1 - 3^(x+2)):

cos(2x) = (2 - 18*3^(x)) / (1 - 3^(x+2))

Мы можем заметить, что числитель и знаменатель можно разложить на множители:

2 - 183^(x) = -183^x + 2 = -2*(93^x - 1) 1 - 3^(x+2) = 1 - 93^x = -8*3^x + 1

Тогда уравнение примет вид:

cos(2x) = 2*(93^x - 1) / (83^x - 1)

Мы можем заменить cos(2x) на 2cos^2(x) - 1 и получим квадратное уравнение относительно cos(x):

2cos^2(x) - 1 = 2*(93^x - 1) / (83^x - 1)

Упростим выражение справа:

2*(93^x - 1) / (83^x - 1) = (183^x - 2) / (83^x - 1)

Тогда уравнение примет вид:

2cos^2(x) - 1 = (183^x - 2) / (83^x - 1)

Умножим обе части на (8*3^x - 1):

16cos^2(x)3^x - 83^x + 1 = 183^x - 2

Перенесем все слагаемые на одну сторону и приведем подобные:

16*cos^2(x)3^x - 263^x + 3 = 0

Решим квадратное уравнение относительно cos^2(x):

cos^2(x) = [263^x - 3] / (163^x)

Теперь можем найти cos(x):

cos(x) = ± sqrt([263^x - 3] / (163^x))

Таким образом, решением уравнения являются значения x, при которых cos(x) равно одному из двух значений, полученных выше.