Question

В треугольнике стороны равны 9, 6 и а. Найдите все значения а, при которых треугольник будет остроугольным

Answer 1

Пояснение к рисунку. Голубым цветом построен отрезок длиной 9, окружность - множество возможных положений конца отрезка длиной 6. Желтым - некоторые варианты положения отрезка длиной 6 (зеркальные не рассматриваем, чтобы не загромождать рисунок). Красным - значения а, когда треугольник становится тупоугольным (в случае малого а, тупым является угол между 6 и а, в случае большого - угол между 9 и 6). Синим цветом отрисованы граничные положения (значения а), когда

1) а становится катетом. При этом a = √9^2 - 6^2 = √81-36 = √45 = 3√5

2) а становится гипотенузой. При этом а = √9^2 + 6^2 = √81+36 = √117 = 3√13

При а между этими 2 значениями треугольник является остроугольным

3√5 < a < 3√13

Answer 2

Для того чтобы треугольник был остроугольным, должно выполняться неравенство треугольника: сумма квадратов двух меньших сторон должна быть больше квадрата наибольшей стороны.

Таким образом, для данного треугольника с наибольшей стороной "а", мы можем записать следующее неравенство:

$9^2 + 6^2 > a^2$

Это неравенство можно упростить:

$81 + 36 > a^2$

$117 > a^2$

$\sqrt{117} > a$

$10.82 > a$

Таким образом, для того чтобы треугольник был остроугольным, "а" должно быть меньше 10.82. Из условия задачи, "а" является стороной треугольника, следовательно, она не может быть отрицательной. Таким образом, все значения "а" из диапазона от 0 до 10.82 будут удовлетворять условию остроугольности треугольника.