Question

на 23 февраля мама подарила Никите 27 новых кубиков 1*1*1 на всех гранях первого написано число 1 ,второго -2 и т.д,последнего 27. можно ли из этих кубиков собрать куб 3*3*3 так, чтобы суммы чисел на всех гранях были различны, и разность любых двух таких сумм делилась на 31?

Answer 1

Тебе еще нужен ответ? Или уже не надо?

Answer 2

Да, такой куб можно собрать.

Рассмотрим сумму чисел на гранях куба 333. Эта сумма будет равна сумме чисел на всех 6 гранях, умноженной на 4 (количество граней куба). Общая сумма чисел на всех гранях равна

1 + 2 + ... + 27 = (27/2)(1 + 27) = 378.

Следовательно, сумма чисел на гранях куба 333 будет равна 1512.

Мы можем разбить все 27 кубиков на 9 слоев по 3 кубика в каждом слое. Каждый слой будет иметь свою сумму чисел на гранях, которую мы обозначим как s1, s2, ..., s9 (в порядке слоев сверху вниз).

Заметим, что каждый слой имеет одинаковую сумму чисел на гранях, так как каждый кубик в слое имеет одинаковое число на своей грани. Пусть эта сумма равна s. Тогда общая сумма чисел на всех гранях куба будет равна 9s.

Нам нужно найти 9 различных чисел, сумма которых равна 1512, и разность любых двух таких сумм делится на 31.

Рассмотрим следующую последовательность чисел:

s, 2s + 31, 3s + 62, 4s + 93, 5s + 124, 6s + 155, 7s + 186, 8s + 217, 9s + 248.

Мы можем найти такое s, что сумма всех этих чисел будет равна 1512, если решим уравнение:

s + (2s + 31) + (3s + 62) + ... + (9s + 248) = 1512

Раскрывая скобки и сокращая, получим:

45s + 1261 = 1512

45s = 251

s = 251/45

Таким образом, мы можем выбрать s = 251/45 и построить куб, используя кубики с числами от 1 до 27 таким образом, чтобы каждый слой имел сумму чисел на гранях, равную s. Затем мы можем проверить, что сумма чисел на гранях всего куба равна 1512, и что разность любых двух таких сумм делится на 31.