Question

Найдите уравнение прямой, на которой лежат точки, у которых абсцисса составляет 70% от ординаты. Приведите это уравнение к виду Ax−By=0, где A и B натуральные и при этом взаимно простые числа. В качестве ответа укажите A+B.

Answer 1

Поскольку % - сотая часть от числа, 70% может быь выражено как 0.7.

Имеем, x=0.7y

x=7y/10. Домножаем обе части на 10, чтобы получить натуральные числа:

10x=7y.

Приводит уравнение к виду 10x-7y=0.

A=10, B=7.

Ответ: A+B=10+7=17.

Удачи!

Answer 2

Пусть точка на искомой прямой имеет координаты $(x,y)$, где $x$ - абсцисса, $y$ - ордината. Из условия задачи следует, что $x = 0.7y$. Тогда любая точка на этой прямой может быть представлена в виде $(0.7y, y)$.

Уравнение прямой можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ - угловой коэффициент, $b$ - свободный член. Подставляя выражение для $x$ в это уравнение, получаем:

$y = k\cdot 0.7y + b \Rightarrow y(1-0.7k) = b$

Таким образом, уравнение искомой прямой имеет вид:

$y = \frac{b}{1-0.7k}$

Чтобы привести это уравнение к виду $Ax - By = 0$, нужно выразить $y$ через $x$:

$y = \frac{b}{1-0.7k} = \frac{0.7kb}{k-0.7}$

Подставляя это выражение в уравнение для $x$, получаем:

$x = 0.7y = \frac{0.7^2 kb}{k-0.7}$

Умножая обе части на $k-0.7$, получаем:

$(k-0.7)x - 0.7^2 kb = 0$

Обозначим $A = k-0.7$, $B = 0.7^2 k$. Тогда уравнение прямой принимает вид:

$Ax - By = 0$

где $A$ и $B$ - натуральные числа, взаимно простые, так как $0.7 < k < \frac{1}{0.7}$.

Чтобы найти $A+B$, нужно решить систему уравнений:

$\begin{cases} A = k-0.7 \\ B = 0.7^2 k \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k = \frac{B}{0.7^2} \\ A = \frac{B}{0.7^2} - 0.7 \end{cases}$

Таким образом, $A + B = \frac{B}{0.7^2} - 0.7 + B = \frac{1}{0.7^2}B - 0.7$.

Осталось найти $B$. Из выражения для $x = 0.7y$ следует, что $y = \frac{10}{7}x$. Значит, коэффициент угла наклона искомой прямой равен $\frac{10}{7}$. Из уравнения прямой $y = kx + b$ следует, что $b = -\frac{3}{10}x$, так как прям