Question

Вася написал на доске числа один и два в таком в таком порядке каждую минуту он делит последнее выписанное число на предыдущая и записывает результат в конец последовательности на доске. Какое число окажется на 2018-м месте

Answer 1

1) Написал 1=2^0.
2) Написал 2=2^1.
3) 1 разделил на 2, получил 1/2.
4) 2 разделил на 1/2, получил 4=2^2.
5) 1/2 разделил на 2^2, получил 1/2^3.
6) 2^2 разделил на 1/2^3, получил 2^5.
7) 1/2^3 разделил на 2^5, получил 1/2^8.
8) 2^5 разделил на 1/2^8, получил 2^13.
И так далее. Выпишем степени 2:
0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; ...
Это ряд чисел Фибоначчи. Причём на нечетных местах стоят дроби 1/2^(fn), а на чётных просто 2^(fn).
На 2018 месте будет стоять число 2^(f2018).
Для чисел Фибоначчи известна формула Бине, как функция от номера:
$Fn=\frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n }{\sqrt{5}}$
Чтобы найти 2018-ое число Фибоначчи, подставьте n=2018.
Это очень большое число.
А 2018-ое число в нашем ряду равно 2^(F2018).
Оно невообразимо большое, в нем больше 600 знаков.

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, нужно понять, как изменяется последовательность чисел при каждой операции деления.

Начальная последовательность: 1, 2

1-я операция: 2 / 1 = 2, последовательность становится: 1, 2, 2

2-я операция: 2 / 2 = 1, последовательность становится: 1, 2, 2, 1

3-я операция: 1 / 2 = 0.5, последовательность становится: 1, 2, 2, 1, 0.5

4-я операция: 0.5 / 1 = 0.5, последовательность становится: 1, 2, 2, 1, 0.5, 0.5

5-я операция: 0.5 / 0.5 = 1, последовательность становится: 1, 2, 2, 1, 0.5, 0.5, 1

6-я операция: 1 / 0.5 = 2, последовательность становится: 1, 2, 2, 1, 0.5, 0.5, 1, 2

7-я операция: 2 / 1 = 2, последовательность становится: 1, 2, 2, 1, 0.5, 0.5, 1, 2, 2

...

Можно заметить, что после первых двух чисел (1 и 2) каждые два числа повторяются: 2, 2, 1, 0.5, 0.5, 1, 2, 2, ...

Таким образом, чтобы определить число на 2018-м месте, нужно определить, какой элемент в этой последовательности будет на этом месте.

2018-е место в этой последовательности будет находиться между числами 2 и 1. Следовательно, 2018-е число будет между результатом операции 2 / 1 и результатом операции 1 / 2.

2 / 1 = 2, а 1 / 2 = 0.5, поэтому 2018-е число будет находиться между 2 и 0.5. Можно продолжать делать операции деления, пока не будет получено число, находящееся между 2 и 0.5.

2 / 0.5 = 4

4 / 2 = 2

2 / 4 = 0.5

0.5 / 2 = 0.25

0.25 / 0.5 = 0.5

Таким образом, 2018-е число будет равно 0.5. Ответ: 0.5.