Question

Вычислите:sin⁴t+cos⁴t, если sint*cost=-0,5​

Answer 1

Ответ: 2

Пошаговое объяснение:

sin⁴t+cos⁴t=(sin²t+cos²t)²-2×sint*cost=1²-2×sint*cost=1-2×(-0,5​)=1+1=2

Answer 2

Начнем с использования тригонометрической идентичности sin²t + cos²t = 1 и возведения ее в квадрат:

(sin²t + cos²t)² = 1

sin⁴t + 2sin²tcos²t + cos⁴t = 1

Мы можем выразить sin²tcos²t, используя условие, данное в задаче:

sint*cost=-0,5

Умножим обе части на 2 и используем тригонометрические идентичности для удвоенного угла:

2sin(t)cos(t)=-1

(sin2t)/2=-1/2

sin2t=-1

Теперь мы можем заменить sin²tcos²t на (sin2t/2)² в уравнении выше:

sin⁴t + 2(sin2t/2)² + cos⁴t = 1

sin⁴t + 2(sin²t/4) + cos⁴t = 1

Заметим, что sin²t + cos²t = 1, поэтому cos⁴t = (1 - sin²t)² = 1 - 2sin²t + sin⁴t. Подставим это выражение и упростим:

sin⁴t + 2(sin²t/4) + 1 - 2sin²t + sin⁴t = 1

2sin⁴t - 2sin²t + 1 = 0

Мы можем решить это уравнение относительно sin²t, используя квадратное уравнение:

sin²t = [2 ± sqrt(4 - 8)]/4 = [2 ± 2sqrt(2)]/4 = 1/2 ± sqrt(2)/2

Теперь мы можем найти sin⁴t + cos⁴t, используя выражение для cos⁴t, которое мы получили ранее:

sin⁴t + cos⁴t = 1 - 2sin²t + sin⁴t = 1 - 2(1/2 ± sqrt(2)/2) + (1/2 ± sqrt(2)/2)²

sin⁴t + cos⁴t = 1 - 1 ± sqrt(2) + 1/2 ± sqrt(2)/2

sin⁴t + cos⁴t = 3/2 ± sqrt(2)/2

Ответ: sin⁴t + cos⁴t = 3/2 ± sqrt(2)/2.