Question

Построить график функции у= 1/2 модуль х/2 - 2/х модуль закрыть + х/2 +2/х

Answer 1

Раскрываем модуль по определению

Если

(x/2)-(2/x) ≥0,  то | (x/2)-(2/x)|=(x/2)-(2/x)

y=(1/2)· (( x/2)-(2/x))  + (x/2)+(2/x)= (3/2)(x/2)+(1/2)(2/x)=(3x/4)+(1/x)

Если

(x/2)-(2/x)  <0,  то | (x/2)-(2/x)|= - (x/2)+(2/x)

y=(1/2)· (-(x/2)+(2/x))  + (x/2)+(2/x)= (1/2)(x/2)+(3/2)(2/x)=(x/2)+(3/x)

Так как

(x/2)-(2/x) ≥0   ⇒  (x²-4)/x≥0  ⇒ при  x∈[-2;0)U([2;+∞)

строим график y=(3x/4) + (1/x)  на [-2;0)U([2;+∞)

рис. 1

(x²-4)/x < 0  ⇒ при  x∈ (-∞;-2)U(0;2)

на (-∞;-2)U(0;2)  строим график y=(x/2)+(3/x)

рис. 2

Окончательный график рис. 3

Answer 2

Чтобы построить график функции, необходимо проанализировать ее поведение в разных интервалах значений x.

Для начала, разобьем функцию на две части:

• у = (1/2) * |x/2| - (2/x) для x < 0
• у = (1/2) * |x/2| + (2/x) для x >= 0

Теперь построим график каждой из этих частей отдельно.

Для первой части функции, когда x < 0, модуль отрицательный, поэтому получим:

у = -(1/2) * (x/2) - (2/x) = -x/4 - (2/x)

Чтобы построить график этой функции, найдем точки пересечения с осями координат:

• при x = 0 функция не определена;
• при x < 0 функция монотонно убывает, стремясь к минус бесконечности;
• при x -> -бесконечность функция стремится к 0.

Теперь рассмотрим вторую часть функции, когда x >= 0, модуль положительный, поэтому получим:

у = (1/2) * (x/2) + (2/x) = x/4 + (2/x)

Чтобы построить график этой функции, также найдем точки пересечения с осями координат:

• при x = 0 функция не определена;
• при x > 0 функция монотонно возрастает, стремясь к плюс бесконечности;
• при x -> плюс бесконечность функция стремится к плюс бесконечности.

Теперь объединим эти два графика в один, чтобы получить график исходной функции. График будет иметь точку разрыва в x = 0, так как значение функции в этой точке зависит от левого и правого пределов, которые не равны между собой.

Вот как выглядит график функции: