Question

Найти неопределенный интеграл (3x+2)/sqrt(x^2+2x+16)dx

Answer 1

$\int \frac{3x+2}{x^2+2x+16}dx=\int \frac{3x+2}{(x+1)^2+15}dx=[x+1=t,x=t-1,dx=dt]=\\\\=\int \frac{3(t-1)+2}{t^2+15}dt=\int \frac{3t-1}{t^2+15}dx=\frac{3}{2}\int \frac{2t\, dt}{t^2+15}-\frac{dt}{t^2+15}=\\\\=\frac{3}{2}ln|t^2+15|-\frac{1}{\sqrt{15}}arctg\frac{t}{\sqrt{15}}+C=\\\\\frac{3}{2}ln|x^2+2x+16|-\frac{1}{\sqrt{15}}arctg\frac{x+1}{\sqrt{15}}+C$

Answer 2

Чтобы найти неопределенный интеграл ∫(3x+2)/√(x^2+2x+16)dx, мы можем сделать замену переменной. Давайте проведем следующую замену:

u = x^2 + 2x + 16

Тогда дифференциал переменной u будет равен:

du = (2x + 2)dx

Используя эту замену, мы можем переписать исходный интеграл следующим образом:

∫(3x+2)/√(x^2+2x+16)dx = ∫(3x+2)/(√u)(du/(2x+2))

= (1/2)∫(3x+2)/√u du

Теперь мы можем произвести интегрирование по переменной u. При интегрировании (3x+2) будет рассматриваться как константа относительно переменной u:

(1/2)∫(3x+2)/√u du = (3/2)∫1/√u du + (2/2)∫1/√u du

= (3/2)√u + (2/2)√u + C

= (5/2)√u + C

Теперь мы можем вернуться к переменной x, используя исходную замену u = x^2 + 2x + 16:

= (5/2)√(x^2 + 2x + 16) + C

Где C - произвольная постоянная. Таким образом, неопределенный интеграл (3x+2)/√(x^2+2x+16)dx равен (5/2)√(x^2 + 2x + 16) + C.