Question

Даны два двузначных числа A и B. Из них составили десятичные дроби A,B и B,A. Оказалась, что сумма этих дробей - целое число. Какое?

Answer 1

Если сумма десятичных дробей равна целому числу, то сумма дробных частей равна 1.
0,A + 0,B = 1
Числа двузначные, поэтому умножим все на 100
A + B = 100
Это могут быть числа 11,89 + 89,11, или 34,66 + 66,34, или 25,75 + 75,25.
И так далее, вариантов много. Сумма во всех случаях равна 101.

Answer 2

Пусть $A = 10a+b$ и $B=10c+d$, где $a, b, c, d$ - цифры. Тогда десятичные дроби $A,B$ и $B,A$ равны $\frac{10a+b}{100}=\frac{5a+b}{50}$ и $\frac{10c+d}{100}=\frac{5c+d}{50}$, соответственно, и их сумма равна

$$\frac{5a+b+5c+d}{50}=\frac{5(a+c)+(b+d)}{50}.$$

Заметим, что числитель дроби является четным числом, так как $a, b, c, d$ - цифры и, следовательно, находятся в диапазоне от 0 до 9. Значит, для того чтобы дробь была целым числом, ее знаменатель должен делиться на 10. Таким образом, $5(a+c)+(b+d)$ должно быть кратно 10.

Так как $a, b, c, d$ - цифры, то $0 \leq a, b, c, d \leq 9$. Попробуем перебрать все возможные пары чисел $(a,b)$ и $(c,d)$ и вычислить сумму $\frac{5(a+c)+(b+d)}{50}$ для каждой пары:

• $(a,b) = (0,1)$ и $(c,d) = (1,0)$: $\frac{5(0+1)+(1+0)}{50}=\frac{6}{50}$
• $(a,b) = (0,2)$ и $(c,d) = (2,0)$: $\frac{5(0+2)+(2+0)}{50}=\frac{12}{50}$
• $(a,b) = (0,3)$ и $(c,d) = (3,0)$: $\frac{5(0+3)+(3+0)}{50}=\frac{18}{50}$
• $(a,b) = (0,4)$ и $(c,d) = (4,0)$: $\frac{5(0+4)+(4+0)}{50}=\frac{24}{50}$
• $(a,b) = (0,5)$ и $(c,d) = (5,0)$: $\frac{5(0+5)+(5+0)}{50}=\frac{30}{50}= \frac{3}{5}$
• $(a,b) = (0,6)$ и $(c,d) = (6,0)$: $\frac{5(0+6)+(6+0)}{50}=\frac{36}{50}$
• $(a,b) = (0,7)$ и $(c,d) = (7,0)$: $\frac{5(0+7)+(7+0)}{50}=\frac{42}{50}$
• $(a,b) = (0,8)$ и $(c,d) = (8,0)$: $\frac{5(0+8)+(8+0)}{50}=\frac{48}{50}$
• $(a,b) = (0,9)$ и $(c,d) = (9,