Question

Помогите решить задачи: 1) Площадь параллелограмма ABCD=92 см квадратных. Точка F - середина BC. Найти площадь трапеции ADFB. 2) Найти вписанный угол, опирающийся на дугу, равную 1/5 окружности. 3) В треугольнике ABC BC=6 см, угол ACB=120°. Прямая BM перпендикулярна плоскости ABC. Найти расстояние от точки M до прямой AC, если BM=3 см.

Answer 1

№1,№2  - полное решение на фото.

Answer 2

1. Обозначим высоту параллелограмма на сторону AB через h. Так как F - середина BC, то BF=FC=1/2BC. Тогда основания трапеции ADFB равны AB и DC, то есть AD+DC=2AB. Заметим, что AD+DC=h+BF+FC+h=2h+BC, а BC=2BF, т.к. F - середина BC. Тогда имеем уравнение 2h+2BF=2AB, откуда h+BF=AB. Площадь параллелограмма равна S=ABh=92, поэтому h=92/AB. Также из прямоугольного треугольника BFC получаем, что BF=FC=BC/2=AB/4. Тогда h+BF=AB+AB/4=5AB/4. Таким образом, площадь трапеции равна S'=(AD+BC)h/2=(2AB)h/2=ABh=AB(5AB/4-AB/4)=2AB^2=2*S=184.

Ответ: площадь трапеции ADFB равна 184 квадратных сантиметра.

2. Пусть дана окружность с центром O и радиусом r. Пусть P и Q - точки пересечения этой окружности с двумя касательными, проходящими через некоторую точку A на окружности. Тогда угол AOP (AОQ) называется вписанным углом, опирающимся на дугу APQ (AQP).

В данном случае дуга APQ равна 1/5 от окружности, значит, ее центральный угол равен 1/5*360°=72°. Тогда вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен половине центрального угла, т.е. 36°.

Ответ: вписанный угол, опирающийся на дугу, равную 1/5 окружности, равен 36°.

3. Пусть точка D - проекция точки M на прямую AC. Тогда требуется найти AD.

Заметим, что треугольник ABC равнобедренный, поэтому высота AD является биссектрисой угла ACB. Тогда из теоремы о биссектрисе угла имеем, что BD/DC=AB/AC, то есть BD=(AB/AC)*DC=(AB/AC)*6=3AB. Также заметим, что треугольник BMD прямоугольный, поэтому из теоремы Пифагора получаем, что BM^2+MD^2=BD^2.