Question

При каких значениях параметра a: б) уравнение z^2+az+13=0 имеет корень -2-3i г) уравнение z^2+(a^2+2a+2)z+41=0 имеет корень -5+4i Напишите подробное решение. Под а и в решил сам.

Answer 1

Б) z²+az+13=0
 подставляем значение z= -2-3i  в уравнение, получаем

(-2-3i)²+a(-2-3i)+13=0
(2+3i)²-2a-3ai+13=0
4+12i+9i²-3ai+13=0
17+12i-9-3ai=0
8+12i-3ai=0
8+12i=3ai
a= $\frac{8+12i}{3i}$= $\frac{(8+12i)i}{(3i)i}$= $\frac{8i+12i^{2}}{-3 } = \frac{8i-12}{-3} = \frac{12-8i}{3}=4- \frac{8}{3}i$


г) уравнение z²+(a²+2a+2)z+41=0 имеет корень -5+4i
подставляем значение z=-5+4i  в уравнение, получаем
( -5+4i)²+(a²+2a+2)( -5+4i)+41=0

(дальше решаю на листочке - так быстрее будет)

Answer 2

б) Уравнение имеет корень -2-3i, значит его другой корень должен быть -2+3i (так как коэффициенты уравнения - действительные числа).

Используя формулу для квадратного уравнения, получим:

z^2 + az + 13 = (z - (-2 - 3i))(z - (-2 + 3i)) = (z + 2 + 3i)(z + 2 - 3i) = z^2 + 4z + 13 - 12i

Сравнивая коэффициенты при z, получаем:

a = 4

Таким образом, при a = 4 уравнение z^2 + az + 13 = 0 имеет корень -2-3i.

г) Аналогично, из уравнения z^2+(a^2+2a+2)z+41=0 имеем, что его другой корень должен быть -5-4i.

Используя формулу для квадратного уравнения, получим:

z^2 + (a^2 + 2a + 2)z + 41 = (z - (-5 + 4i))(z - (-5 - 4i)) = (z + 5 - 4i)(z + 5 + 4i) = z^2 + 10z + 41 + 24i

Сравнивая коэффициенты при z, получаем:

a^2 + 2a + 2 = 10

Решая квадратное уравнение относительно a, получаем:

a^2 + 2a - 8 = 0

(a + 4)(a - 2) = 0

a = -4 или a = 2

Таким образом, при a = -4 или a = 2 уравнение z^2 + (a^2 + 2a + 2)z + 41 = 0 имеет корень -5+4i.