Question

Решите уравнение:x^3+1/x=5•(x+1/x)

Answer 1

домножим на x не равный 0

x^4 + 1 = 5x^2 + 5. Возьмем t=x^2 где t >=0

t^2 + 1 =5t +5

t^2 -5t -4 = 0

t = (5+sqrt(41))/2 и t = (5-sqrt(41))/2. Так как t>=0 то подходит только

t = (5+sqrt(41))/2. Значит x^2=(5+sqrt(41))/2

x = sqrt((5+sqrt(41))/2) и x = -sqrt((5+sqrt(41))/2)

Answer 2

Дано уравнение:

x^3 + 1/x = 5(x + 1/x)

Перенесем все члены в левую часть:

x^3 - 5x - 1/x + 5 = 0

Умножим обе части на x, чтобы избавиться от знаменателя:

x^4 - 5x^2 - 1 + 5x = 0

Перенесем все члены в левую часть:

x^4 - 5x^2 + 5x - 1 = 0

Мы можем решить это уравнение с помощью метода подстановки, предположив, что x является корнем уравнения, и затем проверив, выполняется ли это предположение.

Предположим, что x = 1 является корнем уравнения:

1^4 - 5(1)^2 + 5(1) - 1 = 0

1 - 5 + 5 - 1 = 0

0 = 0

Таким образом, x = 1 является корнем уравнения.

Разделим левую часть уравнения на (x - 1):

x^4 - 5x^2 + 5x - 1 = (x - 1)(x^3 + x^2 - 4x - 1)

Мы можем решить кубическое уравнение во второй скобке, используя метод Раца-Гуревича или метод Кардано, но это будет сложно и не очень эффективно. Вместо этого мы можем воспользоваться графическим методом и приближенно найти два других корня уравнения.

График функции y = x^3 + x^2 - 4x - 1 имеет один корень около -1.6 и два корня около 0.6 и 1. Рассчитаем эти корни численно:

-1.6: (-1.6)^3 + (-1.6)^2 - 4(-1.6) - 1 ≈ 0 0.6: (0.6)^3 + (0.6)^2 - 4(0.6) - 1 ≈ 0 1: 1^3 + 1^2 - 4(1) - 1 = 0

Таким образом, уравнение имеет три корня: x = -1.6, x = 0.6 и x = 1.

Ответ: x = -1.6, x = 0.6, x = 1.