Question

Увеличится или уменьшится сумма 1/100+1/101+...+1/199+1/200, если все слагаемые в ней заменить на 1/150? решите пожалуйста

Answer 1

$\frac{1}{100}+\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}=\\\\ \frac{1}{200}$
Оценим сумма попарных взятых сумм 
     $\frac{1}{100}+\frac{1}{200}=0.014$
   до    $\frac{1}{149}+\frac{1}{150}=0.013$ и очевидно что вся сумма будет равна 
  $S=0.014*50=0.7$  
 А так как  $\frac{1}{150}+\frac{1}{150}....=\frac{200}{150}=\frac{4}{3}>0.7$ 
 Ответ увеличится 
   

Answer 2

Заметим, что каждое из чисел $1/100, 1/101, \ldots, 1/199, 1/200$ больше числа $1/150$. Следовательно, если заменить все эти числа на $1/150$, то сумма уменьшится.

Для того чтобы оценить насколько уменьшится сумма, заметим, что исходная сумма представляет собой частичную сумму гармонического ряда:

$$\sum_{i=100}^{200} \frac{1}{i} = \frac{1}{100} + \frac{1}{101} + \ldots + \frac{1}{199} + \frac{1}{200} = H_{200} - H_{99},$$

где $H_n$ обозначает $n$-й гармонический ряд: $H_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}$.

Заменив каждое слагаемое на $1/150$, получаем новую сумму:

$$\sum_{i=100}^{200} \frac{1}{150} = \frac{101}{150} = \frac{202}{300}.$$

Чтобы оценить, насколько уменьшится исходная сумма, вычтем из нее новую сумму:

$$\begin{aligned} (H_{200} - H_{99}) - \frac{202}{300} &= H_{200} - H_{150} - (H_{99} - H_{150}) - \frac{202}{300} \\ &\approx \ln \left( \frac{200}{150} \right) - \ln \left( \frac{99}{150} \right) - \frac{1}{150} \\ &\approx \ln \left( \frac{4}{3} \right) - \ln \left( \frac{2}{3} \right) - \frac{1}{150} \\ &\approx 0.1346 - (-0.4055) - \frac{1}{150} \\ &\approx 0.6591 - \frac{1}{150} \\ &\approx 0.6524. \end{aligned}$$

Таким образом, сумма уменьшится на примерно $0.6524$. Ответ: сумма уменьшится.