Question

Даны квадрат и прямоугольник с равными диагоналями. Доказать, что площадь прямоугольника меньше площади квадрата.

Answer 1

Решение на сканированном листе

Answer 2

Пусть сторона квадрата равна a, а стороны прямоугольника равны b и c, где b > c.

Тогда, используя теорему Пифагора, мы можем выразить диагональ квадрата и диагональ прямоугольника:

Диагональ квадрата: d = sqrt(2a^2) Диагональ прямоугольника: d = sqrt(b^2 + c^2)

Поскольку диагонали равны, мы можем приравнять их:

sqrt(2a^2) = sqrt(b^2 + c^2)

Возводя каждую сторону в квадрат, мы получаем:

2a^2 = b^2 + c^2

Теперь рассмотрим площадь квадрата и прямоугольника:

Площадь квадрата: A = a^2 Площадь прямоугольника: A = bc

Мы можем подставить значение b^2 + c^2, полученное выше, в формулу для площади прямоугольника:

A = bc = a^2 - (b^2 + c^2 - 2bc)/2

Поскольку b > c, выражение в скобках положительно, следовательно, мы можем сделать вывод, что площадь прямоугольника меньше площади квадрата:

A(pr) < A(sq)

Таким образом, мы доказали, что площадь прямоугольника меньше площади квадрата при равных диагоналях.