Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=2x^3-6x+5 [-5/2;3/2]

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

у"=6х^2-6=6(x^2-1),  x^2-1=0,  x=1 и  х=-1(критические точки),  находим значения функции в точках  1,  -1,  -5/2  и 3/2

у(1)=2*1-6*1+5=1,  у(-1)=-2+6+5=9,  у(-5/2)=-2*125/8-6*(-5/2)+5=-11 1/4,  у(3/2)=2*27/8-6*3/2+5=2 3/4,  видим, наиб.=9,  наим.=-11 1/4

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в указанном интервале, нужно вычислить значения функции при граничных точках интервала (-5/2 и 3/2) и при точках экстремума (если они есть).

Найдем производную функции: y' = 6x^2 - 6

Чтобы найти экстремумы функции, решим уравнение y' = 0: 6x^2 - 6 = 0 x^2 - 1 = 0 (x - 1)(x + 1) = 0

Таким образом, у нас есть две точки экстремума: x = -1 и x = 1.

Далее, чтобы определить, является ли каждая из этих точек максимумом или минимумом, нужно рассмотреть знак второй производной (y'').

y'' = 12x

y'' < 0 при x < 0, что означает, что точка x = -1 является максимумом функции, а y'' > 0 при x > 0, что означает, что точка x = 1 является минимумом функции.

Теперь можно вычислить значения функции в точках интервала и точках экстремума:

y(-5/2) = 2*(-5/2)^3 - 6*(-5/2) + 5 = -37/4 ≈ -9.25 y(3/2) = 2*(3/2)^3 - 6*(3/2) + 5 = 19/4 ≈ 4.75 y(-1) = 2*(-1)^3 - 6*(-1) + 5 = 13 y(1) = 2*(1)^3 - 6*(1) + 5 = 1

Таким образом, наименьшее значение функции равно 1, достигается в точке x = 1, а наибольшее значение функции равно -37/4, достигается в точке x = -5/2.