Question

Какое наименьшее количество последовательных чисел надо написать на доске, чтобы среди них обязательно нашлись два числа, разность которых делится на 10?

Answer 1

Чтобы нашлись 2 числа, разность которых делилась бы на 10, нужно, чтобы эти числа заканчивались на одну и ту же цифру. А такое происходит через 10 цифр. Одиннадцатое такое число и даст разность, кратную 10.
Ответ: любых подряд идущих цифр 11 чисел. 

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться так называемым "принципом Дирихле".

Пусть мы написали на доске $n$ последовательных чисел. Рассмотрим остатки этих чисел при делении на 10. Очевидно, что у любого числа эти остатки могут быть только следующими: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9.

Если мы написали $n$ чисел и ни у одной пары чисел из этого множества разность не делится на 10, то это означает, что все пары чисел имеют разные остатки при делении на 10. Следовательно, мы можем записать на доске не более 10 чисел, каждое из которых имеет разные остатки при делении на 10.

Если мы напишем 11 чисел, то как минимум два из них будут иметь одинаковые остатки при делении на 10 (по принципу Дирихле). И разность этих чисел будет делиться на 10.

Таким образом, наименьшее количество последовательных чисел, которое нужно написать на доске, чтобы среди них обязательно нашлись два числа, разность которых делится на 10, равно 11.