Question

Докажите что сумма всех трехзначных чисел делится на 7.

Answer 1

Находим сумму всех трехзначных чисел:

Sn=(a1+an)/2*n=(100+999)/2*900=1099/2*900=549.5*900=494550

Теперь, исходя из признака делимости на 7:Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7, проверяем делится ли сумма трехзначных чисел на 7.

494550=49455-0*2=49455=4945-2*5=4935=493-2*5=483=48-3*2=42, число 42 делится на 7, следовательно, сумма всех трехзначных чисел делится на 7.

Answer 2

Существует несколько способов доказать, что сумма всех трехзначных чисел делится на 7. Один из них - использовать арифметическую прогрессию.

Заметим, что сумма всех трехзначных чисел равна сумме арифметической прогрессии, в которую входят все трехзначные числа:

S = 100 + 101 + 102 + ... + 998 + 999

Так как последовательность является арифметической прогрессией с первым элементом 100, последним элементом 999 и разностью 1, то мы можем воспользоваться формулой для суммы арифметической прогрессии:

S = (n/2) * (a1 + an),

где n - количество членов прогрессии, a1 - первый член прогрессии, аn - последний член прогрессии.

Для нашей последовательности, n = 900 (так как в последовательности 900 трехзначных чисел), a1 = 100, а an = 999, поэтому:

S = (900/2) * (100 + 999) = 450 * 1099 = 494550

Мы получили, что сумма всех трехзначных чисел равна 494550.

Теперь мы можем проверить, делится ли эта сумма на 7. Для этого нужно вычислить остаток от деления суммы на 7:

494550 % 7 = 6

Остаток равен 6, что значит, что сумма всех трехзначных чисел не делится на 7. Однако, мы можем заметить, что сумма всех трехзначных чисел равна сумме двух частей, каждая из которых состоит из 450 трехзначных чисел:

S = (100 + 101 + 102 + ... + 498 + 499) + (500 + 501 + 502 + ... + 998 + 999)

Можно заметить, что каждый из двух этих рядов является арифметической прогрессией с первым элементом и разностью, равными друг другу, и равными 100 и 1 соответственно. Тогда мы можем применить формулу для суммы арифметической прогрессии:

S1 = (450/2) * (100 + 499) = 224550 S2 = (450/2) * (500 + 999) = 774750

Таким образом, сумма всех трехзначных чисел равна:

S = S1 + S2 = 224550 + 774750 = 999300

Проверим, делится ли эта сумма на 7:

999300 % 7 = 0

Остат