Question

Найти общее решение дифференциального уравнения: (3y-7x+7)dx = (3x-7y-3)dy

Answer 1

Посмотрите предложенное решение: для общего решения последние три строки не нужны.
Оформление не соблюдалось.

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения можно воспользоваться методом разделения переменных.

Разделим обе части уравнения на выражение (3y-7x+7)dy и (3x-7y-3)dx соответственно:

(3y-7x+7)dx/(3x-7y-3)dy = dy/dx

Проведем замену переменных:

u = 3y - 7x + 7 v = 3x - 7y - 3

Тогда

du/dx = 3dy/dx - 7

dv/dx = 3dx/dy - 7

Выразим dx/dy из первого уравнения:

dx/dy = (3/u) du/dx - (7/u)

Подставим это выражение во второе уравнение и получим:

dv/dx = (3/u) du/dx - 7

Теперь можно разделить переменные и проинтегрировать обе части уравнения:

∫(1/v) dv = ∫(3/u) du

ln|v| = 3ln|u| + C1

где С1 - произвольная постоянная интегрирования.

Выражая u и v через x и y, получаем:

u = 3y - 7x + 7

v = 3x - 7y - 3

Используя определение логарифма, получаем:

|v| = C2 |u|^3

где С2 - некоторая постоянная.

Учитывая выражение для u, получаем:

|3x - 7y - 3| = C2 |3y - 7x + 7|^3

В итоге, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

|3x - 7y - 3| = C |3y - 7x + 7|^3

где С - некоторая постоянная.