Question

Катер может пройти 80 км по течению реки и 40 км против течения за 6 часов 30 минут, а 40 км по течению и 80 км против течения за 7 часов. Определите собственную скорость катера и скорость течения реки.

Answer 1

80/х + у) + 40/ (х - у) = 6 1/2 | ·(-2) и сложим со вторым
40/(х +у) + 80/(х - у) = 7
Решим эту систему.  
Для этого введём новые переменные: х + у = t  и  х - у = z(***)
80/t + 40/z = 13/2       
40/t + 80 /z = 7/1| ·2,
 получим:
80/t + 40/z = 13/2
80/t + 160/z = 14 Вычтем из 2-го уравнения 1-е, получим: 
120/z = 15/2⇒ z = 16 (*)
подставим z = 16  в 1-е уравнение, получим:
80/t + 40/16 = 13/2
80/t = 4 ⇒  t = 20(**)
Возвращаемся  к (***)
х+у = 20
х-у = 16 Сложим, получим 2х = 36 ⇒ х = 18 ( собственная скорость).
у = 20 - 18 = 2 ( скорость течения)
Ответ: Собственная скорость = 18км/ч
Скорость течения = 2 км/ч

Answer 2

Пусть скорость катера относительно воды равна $v$, а скорость течения реки равна $u$.

Тогда, согласно условию задачи, мы можем записать систему уравнений:

$$\begin{aligned} 80/(v+u) + 40/(v-u) &= 6.5 \\ 40/(v+u) + 80/(v-u) &= 7 \end{aligned}$$

Чтобы решить эту систему уравнений, мы можем сначала избавиться от знаменателей, умножив каждое уравнение на $(v+u)(v-u)$:

$$\begin{aligned} 80(v-u) + 40(v+u) &= 6.5(v+u)(v-u) \\ 40(v-u) + 80(v+u) &= 7(v+u)(v-u) \end{aligned}$$

Далее раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$$\begin{aligned} 120v - 40u &= 6.5v^2 - 6.5u^2 \\ 120v + 40u &= 7v^2 - 7u^2 \end{aligned}$$

Теперь мы имеем систему из двух квадратных уравнений с двумя неизвестными. Решим ее методом подстановки. Из первого уравнения выразим $u$:

$$u = \frac{6.5v^2 - 120v}{6.5v - 40}$$

Подставим это выражение для $u$ во второе уравнение и получим квадратное уравнение относительно $v$:

$$7v^2 - \frac{2920}{13}v - \frac{52000}{169} = 0$$

Решив это уравнение, мы найдем два корня:

$$v_1 = \frac{400}{13}, \quad v_2 = -\frac{80}{7}$$

Отрицательный корень не подходит, так как скорость катера не может быть отрицательной. Ответ: скорость катера относительно воды равна:

$$v = \frac{400}{13} \approx 30.77 \text{ км/ч}$$

Теперь найдем скорость течения реки, подставив найденное значение $v$ в выражение для $u$:

$$u = \frac{6.5 \cdot (400/13)^2 - 120 \cdot (400/13)}{6.5 \cdot (400/13) - 40} \approx 5.38 \text{ км/ч}$$

Ответ: скорость течения реки равна примерно 5.38 км/ч.