Question

F(x)=4x:(x+4) исследовать функцию

Answer 1

Исследование функции  F(x)=4x/(x+4) дано в приложении.

Answer 2

Для начала, для полного исследования функции F(x)=4x/(x+4), мы должны:

1. Найти область определения функции

2. Найти точки пересечения графика с осями координат

3. Найти интервалы возрастания и убывания функции

4. Найти экстремумы функции

5. Найти точки перегиба

6. Нарисовать график функции

7. Область определения функции: функция не определена при x = -4, так как знаменатель становится равным нулю. Следовательно, область определения функции F(x) является множеством всех действительных чисел, кроме x = -4: D = (-∞, -4) U (-4, +∞).

8. Найти точки пересечения графика с осями координат: Для этого мы должны решить уравнение F(x) = 0. Как мы видим, числитель равен нулю только при x = 0. Следовательно, точка пересечения графика с осью OX равна (0,0). Для нахождения точки пересечения графика с осью OY мы должны подставить x=0 в уравнение функции и получаем F(0)=0.

9. Найти интервалы возрастания и убывания функции: Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, мы можем найти производную функции и определить ее знак. Производная функции F(x) равна:

F'(x) = (4(x+4) - 4x) / (x+4)^2 = 16 / (x+4)^2

F'(x) > 0, если (x+4)^2 > 0, т.е. для всех x, кроме x = -4. Следовательно, функция возрастает на (-∞, -4) и на (-4, +∞).

4. Найти экстремумы функции: Экстремумы функции F(x) могут быть только в точках, где ее производная равна нулю или не определена. В данном случае, производная не равна нулю ни в одной точке, кроме x=-4, где она не определена. Следовательно, функция не имеет экстремумов.

5. Найти точки перегиба: Точки перегиба функции F(x) могут быть найдены приравнивании второй производной к нулю или неопределенности. В данном случае, вторая производная равна:

F''(x) = -32 / (x+4)^3

F''(x)