Question

10б. Интеграл tg^3(2x) dx. Помогите пожалуйста.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения данного интеграла, воспользуемся методом замены переменной. Проведем следующую замену:

Пусть u = 2x, тогда du = 2dx, откуда dx = du/2.

Подставим это выражение в исходный интеграл:

∫tg^3(2x) dx = ∫tg^3(u) * (du/2).

Теперь рассмотрим подынтегральную функцию tg^3(u). Мы можем представить ее как (sin(u)/cos(u))^3 и воспользоваться формулой:

(sin(u)/cos(u))^3 = sin^3(u)/cos^3(u) = (1 - cos^2(u))^2 / cos^3(u).

Теперь мы можем разложить выражение (1 - cos^2(u))^2 в ряд и подставить его в интеграл. Обратите внимание, что для интегрирования этого ряда нам потребуется использовать тригонометрические формулы сокращения.

Раскладываем (1 - cos^2(u))^2: (1 - cos^2(u))^2 = 1 - 2cos^2(u) + cos^4(u).

Подставляем это в интеграл и продолжаем решение:

∫tg^3(2x) dx = ∫(1 - cos^2(u))^2 / cos^3(u) * (du/2) = 1/2 * ∫(1 - 2cos^2(u) + cos^4(u))/cos^3(u) du = 1/2 * ∫(1/cos^3(u) - 2cos(u)/cos^3(u) + cos^4(u)/cos^3(u)) du = 1/2 * ∫(sec^3(u) - 2sec(u) + sec(u)) du.

Теперь интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

∫sec^3(u) du = 1/2 * (sec(u) * tan(u) + ln|sec(u) + tan(u)|) + C1,

∫2sec(u) du = 2ln|sec(u) + tan(u)| + C2,

∫sec(u) du = ln|sec(u) + tan(u)| + C3,

где C1, C2 и C3 - произвольные постоянные.

Теперь подставляем результаты обратно в исходный интеграл:

∫tg^3(2x) dx = 1/2 * ∫(sec^3(u) - 2sec(u) + sec(u)) du = 1/2 * (sec(u) * tan(u) + ln|sec(u) + tan(u)| - 2ln|sec(u) + tan(u)| + ln|sec(u) + tan(u)|) + C = 1/2 * (sec(u) * tan(u) + ln|sec(u) + tan(u)|) + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь подставляем обратно