Question

Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 24 минуты раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 16 минут после выезда. Сколько времени затратил на путь из В в А велосипедист?

Answer 1

Ответ:

48 минут

Пошаговое объяснение:

время встречи ---- 16 мин.

время мото на весь путь ----- ? мин, но на 24 мин меньше вел.↓

время вел на весь путь ------- ? мин

Решение

S, км ---- весь путь

В, мин ---- время велосипедиста на весь путь

S/В, км/мин ---- скорость велосипедиста

М мин ---- время мотоциклиста на весь путь

S/М, км/мин ----- скорость мотоциклиста

S/B + S/M = S(M+B)/МВ ---- общая скорость

S : (S(М+В)/МВ) = МВ/(М+В) ---- время от начала движения до встречи

МВ/(М+В) = 16 мин --- по условию

МВ = 16(М+В)

М = (В - 24) мин --- по условию

В*(В - 24) = 16(В - 24) + 16В

В² - 24В = 16В - 16*24 + 16В

В² - 56В + 384 = 0

D = 56² - 4*384 = 3136 - 1536 = 1600 = 40²    D > 0

В₁ = (56 + √40²)/4 = 96/2 = 48 (мин)

В₂ = (56 - 40)/2 = 8 мин ---- не подходит, так как время на весь путь не может быть меньше времени до встречи.

Ответ: 48 минут --- время велосипедиста на весь путь

Answer 2

Обозначим время, затраченное на путь мотоциклистом из города А в город В, как $t_1$, а время, затраченное на путь велосипедистом из города В в город А, как $t_2$. Обозначим расстояние между городами А и В как $d$.

Тогда скорость мотоциклиста можно выразить как $v_1 = d/t_1$, а скорость велосипедиста - как $v_2 = d/t_2$.

Мотоциклист проехал расстояние $d$ за время $t_1$, уложившись на 16 минут раньше встречи с велосипедистом, т.е. время встречи можно выразить как $t_1-16$.

В то же время велосипедист проехал расстояние $d$ за время $t_2$, увеличенное на 24 минуты, т.к. он приехал в город А после мотоциклиста, т.е. время прибытия велосипедиста в город А можно выразить как $t_2+24$.

Из условия задачи следует, что расстояние между городами и скорость мотоциклиста и велосипедиста постоянны, поэтому можно записать уравнение для расстояния между городами в момент встречи:

$d = v_1(t_1-16) = v_2(t_2+24)$

Выразим $t_1$ из этого уравнения:

$t_1 = \frac{d}{v_1} + 16$

Подставим это выражение для $t_1$ в уравнение для расстояния:

$d = v_1 \left(\frac{d}{v_1} + 16\right) = d + 16v_1$

Отсюда получаем, что $v_1 = \frac{d}{16}$.

Теперь выразим $t_2$ из уравнения для расстояния:

$t_2 = \frac{d}{v_2} - 24 = \frac{d}{\frac{d}{t_1-16}} - 24 = t_1 - \frac{16d}{d-t_1 \cdot \frac{d}{t_1-16}} - 24$

Упростим это выражение:

$t_2 = t_1 - \frac{16(t_1-40)}{t_1-8} - 24 = \frac{8t_1-656}{t_1-8}$

Теперь подставим выражение для $v_1$:

$t_2 = \frac{128d-656v_1}{d-16v_1} = \frac{8d-41}{d-2}$

Так