Question

постройте график функции y=x-2/2x-x² и определите,при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку​

Answer 1

Дано:  y = (x-2)/(2x-x²)

Пошаговое объяснение:

Задачка с "секретом" - в точке Х=2 - "дырка" - через которую и надо провести прямую.

Упрощаем функцию и получаем:

$y(x)=-\frac{x-2}{x(x-2)}=-\frac{1}{x}$

На вид красиво и просто построить график, но есть точки разрыва.

Первая, при Х=0 - известная - разрыв II-го рода, а вот вторая - при Х=2 - а - устранимый разрыв I-го рода - "подвох" задачи.

Вычисляем y = -1/x  и получаем y(2) = - 1/2 = -0.5.

Теперь находим значение k для точки A(2;-0.5)

k =Ay/Ax = -0.5/2 = -0,25 = =1/4 = k - ответ.

Рисунок к задаче в приложении.

Answer 2

Для начала, нужно найти область определения данной функции. Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому решим уравнение 2x - x² = 0 и найдем корни: x₁ = 0 и x₂ = 2. Таким образом, область определения функции равна (-∞, 0) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞).

Теперь построим график функции y = (x - 2) / (2x - x²):

Чтобы найти значения k, при которых прямая y = kx пересекает график функции в единственной точке, нужно решить уравнение (x - 2) / (2x - x²) = kx. Приведем его к квадратному виду:

x²(k+2) - 2xk - 2 = 0

Для того, чтобы уравнение имело единственное решение, дискриминант должен быть равен нулю:

(2k)² - 4(k+2)(-2) = 0

Решив это уравнение, получим два значения: k₁ = -1 и k₂ = 4. Проверим, пересекает ли прямая y = -x график функции в единственной точке:

(x - 2) / (2x - x²) = -x

x³ - 4x² - 2x + 4 = 0

Очевидно, что это уравнение имеет три корня: x₁ = -2, x₂ = 0 и x₃ = 2. Значит, прямая y = -x пересекает график функции в трех точках и не подходит под условие задачи.

Теперь проверим прямую y = 4x:

(x - 2) / (2x - x²) = 4x

x³ - 8x² + 2x - 2 = 0

Очевидно, что это уравнение имеет только один корень в области определения функции (отрицательные значения и ноль не подходят, а значение функции при x > 2 меньше 4x). Значит, прямая y = 4x пересекает график функции в единственной точке при x ≈ 1.383 и y ≈ 5.532.

Итак, ответ: прямая y = 4x пересекает график функции y = (x - 2) / (2x - x²) в единственной точке.