Question

Можно ли расставить во всех клетках таблицы 5x5 целые числа таким образом, чтобы сумма чисел любой строки была отрицательной, а сумма чисел любого столбца была равна нулю? Обоснуйте свой ответ.

Answer 1

Предположим, что это сделать можно. Если сумма чисел любой строки отрицательна, то сумма чисел всех 5 строк, а значит, чисел во всей таблице также будет отрицательной.

С другой стороны, если сумма чисел в каждом столбце равна нулю, то сумма чисел всех 5 столбцов также будет равна нулю. Получается, что сумма всех чисел равна нулю.

Так как сумма не может быть одновременно отрицательной и равной нулю, получаем, что расставить числа невозможно.

Answer 2

Нет, невозможно расставить целые числа в каждой клетке таблицы 5x5 таким образом, чтобы сумма чисел любой строки была отрицательной, а сумма чисел любого столбца была равна нулю.

Давайте рассмотрим сумму всех чисел в таблице. Так как сумма чисел любого столбца должна быть равна нулю, то сумма всех чисел в таблице также будет равна нулю.

Теперь допустим, что сумма чисел в любой строке таблицы отрицательна. Возьмем сумму всех чисел в таблице и прибавим к ней сумму всех чисел в строках. Так как сумма чисел в каждой строке отрицательна, это означает, что мы прибавляем некоторое отрицательное число к нулю. Результат должен быть больше нуля, но мы знаем, что сумма всех чисел в таблице равна нулю, поэтому получается противоречие.

Таким образом, невозможно расставить числа в таблице таким образом, чтобы удовлетворить оба условия: чтобы сумма чисел любой строки была отрицательной, а сумма чисел любого столбца была равна нулю.