Question

Найдите наибольшее значение функции y=x^3-12x+24 на отрезке [-4;0] (желательно с решением

Answer 1

1)Найдём производную функции:
$y'=(x^3-12x+24 )'=3x^2-12$
2)Найдём нули производной:
$3x^2-12=0$
$3(x^2-4)=0$
$x^2-4=0$
$x^2=4$
$x_1=2 ; x_2=-2$
 Точка 2 не входит в промежуток [-4;0]
3)Найдем значение функции в точке x = 2 и на границах отрезка[-4;0].
$y(-4)=-4^3-12*-4+24=-64+48+24=8$
$y(-2)=-2^3-12*-2+24=-8+24+24=40$
$y(0)=0^3-12*0+24=0-0+24=24$
 Наибольшее значение функции равно 40

Answer 2

Для решения данной задачи необходимо найти точки экстремума функции y=x^3-12x+24 на отрезке [-4;0] и сравнить значения функции в этих точках и на концах отрезка, чтобы найти наибольшее значение функции на данном отрезке.

Найдем производную функции y=x^3-12x+24: y'=3x^2-12

Для нахождения точек экстремума приравняем производную к нулю и решим уравнение: 3x^2-12=0 3(x^2-4)=0 x^2-4=0 (x+2)(x-2)=0

Точки экстремума функции на отрезке [-4;0] равны x=-2 и x=2. Так как наш отрезок [-4;0] является замкнутым и ограниченным, то на этом отрезке функция может достигать своих экстремальных значений только в точках -2, 0 и 2.

Вычислим значения функции в этих точках: y(-2)=(-2)^3-12*(-2)+24=16 y(0)=0^3-120+24=24 y(2)=2^3-122+24=-8

Наибольшее значение функции на отрезке [-4;0] равно 24 и достигается в точке x=0.

Ответ: наибольшее значение функции y=x^3-12x+24 на отрезке [-4;0] равно 24 и достигается в точке x=0.