Question

Периметр равнобедренного треугольника равен 220 см. Точка касания вписанной окружности делит боковую сторону в отношении 3:4. Найдите стороны треугольника. Сколько решений имеет задача?

Answer 1

Задача имеет 2 решения. По свойству касательных, проведенных из одной точки:  боковые  стороны точками касания разделены на части 3х и 4х см. 1)Если к основанию прилежащим отрезком является 4х, то основание равно 8х =4х+4х, тогда периметр (3х+4х)*2+8х=220
22х=220; х=10.Значит, стороны равны 7*10=70- боковые и 8*10=80см- основание. Ответ:70см,70см,80см.2) Если к основанию прилежащий отрезок 3х, то получаем 7х*2+6х=220
20х=220; х=220:20; х=11, тогда стороны боковые по 77 см каждая, а основание- 66см.

Answer 2

Обозначим сторону равнобедренного треугольника через $a$, а полупериметр (половину периметра) через $p$. По условию задачи, $p=110$ см.

Пусть точка касания вписанной окружности с боковой стороной делит ее на отрезки длины $3x$ и $4x$ (где $3x$ - это длина отрезка, ближайшего к вершине треугольника). Тогда, по свойствам вписанной окружности, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} a=2\sqrt{x^2+(\frac{3}{5}a)^2}+2\sqrt{x^2+(\frac{4}{5}a)^2} \\ a=3x+4x \end{cases}$

Решая эту систему уравнений, получаем $a=60\sqrt{5}$ см и $x=20\sqrt{5}$ см.

Таким образом, стороны равнобедренного треугольника равны $a=60\sqrt{5}$ см, $b=60\sqrt{5}$ см и $c=80\sqrt{5}$ см.

Поскольку у нас есть одно решение для сторон треугольника, задача имеет только одно решение.