Question

Найдите промежутки монотоноости функции y=x^4-4x+4

Answer 1

У'=4x³-4
4(x³-1)=0
x=1
(-∞;1) функция убывает
(1;+∞) функция возрастает

Answer 2

Чтобы найти промежутки монотонности функции y = x^4 - 4x + 4, мы можем проанализировать её производную. Давайте найдем производную функции:

y' = 4x^3 - 4.

Производная представляет собой уравнение, определяющее скорость изменения функции. Чтобы найти промежутки монотонности, мы должны исследовать знаки производной.

1. Найдем точки, где производная равна нулю:

4x^3 - 4 = 0.

Мы можем разделить обе части уравнения на 4:

x^3 - 1 = 0.

Теперь факторизуем:

(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0.

Корни этого уравнения:

x - 1 = 0 => x = 1,

x^2 + x + 1 = 0 => квадратное уравнение не имеет рациональных корней.

Таким образом, у нас есть одна критическая точка x = 1.

2. Проверим знаки производной в разных интервалах:

• Если x < 1, возьмем x = 0 (промежуток (-∞, 1)) и подставим в производную:

y' = 4(0)^3 - 4 = -4.

Значит, на интервале (-∞, 1) производная отрицательна.

• Если x > 1, возьмем x = 2 (промежуток (1, +∞)) и подставим в производную:

y' = 4(2)^3 - 4 = 28.

Значит, на интервале (1, +∞) производная положительна.

Таким образом, у нас есть следующие промежутки монотонности:

• Функция y = x^4 - 4x + 4 убывает на интервале (-∞, 1).
• Функция y = x^4 - 4x + 4 возрастает на интервале (1, +∞).