Question

Y=x^2/x^2+1 найти вторую производную функции

Answer 1

Ответ на фото:))))))

Answer 2

Для нахождения второй производной функции y = x^2/(x^2 + 1) нужно сначала найти первую производную и затем продифференцировать ее снова. Давайте начнем с первой производной.

Пусть y = x^2/(x^2 + 1). Мы можем выразить функцию y в виде произведения двух функций и применить правило производной частного:

y = u/v, где u = x^2 и v = x^2 + 1.

Тогда первая производная y' будет выглядеть следующим образом:

y' = (u'v - uv')/v^2.

Теперь найдем u' и v':

u' = d/dx (x^2) = 2x, v' = d/dx (x^2 + 1) = 2x.

Подставим значения u', v', u и v в формулу для y', чтобы получить первую производную:

y' = [(2x)(x^2 + 1) - (x^2)(2x)]/(x^2 + 1)^2.

Сокращаем и упрощаем:

y' = [2x^3 + 2x - 2x^3]/(x^2 + 1)^2.

y' = 2x/(x^2 + 1)^2.

Теперь, чтобы найти вторую производную, продифференцируем y' по x:

y'' = d/dx (2x/(x^2 + 1)^2).

Для удобства используем правило производной частного и правило производной композиции функций. Обозначим числитель как u = 2x и знаменатель как v = (x^2 + 1)^2.

Тогда вторая производная y'' будет равна:

y'' = (u'v - uv')/v^2,

где u' = d/dx (2x) = 2 и v' = d/dx ((x^2 + 1)^2).

Распишем v' с использованием правила производной композиции:

v' = 2(x^2 + 1)(2x) = 4x(x^2 + 1).

Подставляем значения u', v', u и v в формулу для y'':

y'' = [(2)(v) - (u)(4x(x^2 + 1))]/v^2.

y'' = [2(x^2 + 1)^2 - 4x(x^2 + 1)(2x)]/(x^2 + 1)^4.

Сокращаем и упрощаем:

y'' = [2(x^2 + 1) - 8x^3]/(x^2 + 1)^3.

Таким образом, вторая производная функции y = x^2/(x^2 + 1) равна:

y'' = [2(x^2 + 1) - 8x^3]/(x^2 +