Question

Пожалуйста, помогите с решением: Интеграл ∫( ( √(x) + ln(x) ) / x )dx

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы решить этот интеграл, воспользуемся методом интегрирования по частям.

Пусть u = √(x) + ln(x), и dv = dx/x. Тогда du = (1/(2√(x)) + 1/x)dx, а v = ln(x).

Используя формулу интегрирования по частям ∫(u dv) = uv - ∫(v du), получаем:

∫( ( √(x) + ln(x) ) / x )dx = ∫u dv = uv - ∫v du = (ln(x))(√(x) + ln(x)) - ∫ln(x)((1/(2√(x)) + 1/x)dx).

Рассмотрим первый член: (ln(x))(√(x) + ln(x)). Это произведение двух функций, которое можно упростить, умножив ln(x) на каждое слагаемое:

(ln(x))(√(x) + ln(x)) = (√(x)ln(x)) + (ln(x))^2.

Теперь рассмотрим второй член интеграла: ∫ln(x)((1/(2√(x)) + 1/x)dx. Можно раскрыть скобки и объединить дроби:

∫ln(x)((1/(2√(x)) + 1/x)dx = ∫ln(x)(1/(2√(x)))dx + ∫ln(x)(1/x)dx = (1/2)∫(ln(x)/√(x))dx + ∫ln(x)/xdx.

Теперь у нас есть два интеграла, которые можно решить по отдельности.

Рассмотрим первый интеграл: ∫(ln(x)/√(x))dx. Сделаем замену переменной, пусть u = ln(x), тогда du = (1/x)dx:

∫(ln(x)/√(x))dx = ∫u du = (1/2)u^2 + C = (1/2)(ln(x))^2 + C.

Теперь рассмотрим второй интеграл: ∫ln(x)/xdx. Сделаем замену переменной, пусть u = ln(x), тогда du = (1/x)dx:

∫ln(x)/xdx = ∫u du = (1/2)u^2 + C = (1/2)(ln(x))^2 + C.

Теперь мы можем собрать все вместе:

∫( ( √(x) + ln(x) ) / x )dx = (√(x)ln(x)) + (ln(x))^2 - (1/2)(ln(x))^2 - (1/2)(ln(x))^2 + C = (√(x)ln(x)) - (1/2)(ln(x))^2 + C.

Итак, окончательный ответ:

∫( ( √(x) + ln(x) ) / x )dx = (√(x)ln(x)) - (1/2)(ln(x))^2 + C,

г