Question

Решить:y''+y'=49-24x^2

Answer 1

Y = y₁ + y₂

решаем общее однородное

y" + y' = 0
l² + l = 0
l(l + 1) = 0
l₁ = 0
l₂ = -1

y₁ = С₁ + С₂e^{-x} 

y₂ = Ax³ + Bx² + Cx
6Ax + 2B + 3Ax² + 2Bx + C = 49 - 24x²

3A = -24 => A = -8

6A + 2B = 0
-48 + 2B = 0
B = 24

2B + C = 49
C = 1

y₂ = -8x³ + 24x² + x

y = C₁ + C²e^{-x} - 8x³ + 24x² + x - общее решение

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка, можно использовать метод вариации постоянных. Сначала найдем общее решение однородного уравнения y'' + y' = 0.

Шаг 1: Найдем характеристическое уравнение для однородного уравнения: r^2 + r = 0

Шаг 2: Решим характеристическое уравнение: r(r + 1) = 0

Отсюда получаем два корня: r1 = 0 и r2 = -1.

Шаг 3: Запишем общее решение однородного уравнения: y_h = c1 * e^(0x) + c2 * e^(-1x) = c1 + c2 * e^(-x)

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения y'' + y' = 49 - 24x^2.

Шаг 4: Предположим, что частное решение имеет вид y_p = Ax^2 + Bx + C, где A, B и C - неизвестные коэффициенты.

Шаг 5: Вычислим первую и вторую производные y_p: y_p' = 2Ax + B y_p'' = 2A

Шаг 6: Подставим производные в исходное уравнение и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x: 2A + (2Ax + B) = 49 - 24x^2

Теперь решим полученное уравнение.

Шаг 7: Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x: 2A = 0 (коэффициент при x^2) 2A + B = 0 (коэффициент при x^1) 0 = 49 (коэффициент при x^0)

Отсюда получаем A = 0, B = 0.

Шаг 8: Частное решение равно нулю: y_p = 0.

Теперь можем записать общее решение неоднородного уравнения.

Шаг 9: Общее решение неоднородного уравнения: y = y_h + y_p = c1 + c2 * e^(-x) + 0 = c1 + c2 * e^(-x)

Где c1 и c2 - произвольные постоянные.