Question

А) решите уравнение log8 (7*корень из 3*sinx - cos2x-10)=0 б) укажите корни принадлежащие отрезку [3pi/2;3pi]

Answer 1

7√3sinx-cos2x-10=1
7√3sinx-1+2sin²x-10-1=0
sinx=a
2a²+7√3a-12=0
D=147+96=243
a1=(-7√3-9√3)/4=-4√3⇒sinx=-4√3<-1 нет решения
a2=(-7√3+9√3)/4=√3/2⇒sinx=√3/2
x=π/3+2πk U x=2π/3+2πk
3π/2≤π/3+2πk≤3π U  3π/2≤2π/3+2πk≤3π
9≤2+12k≤18  U  9≤4+12k≤18
7≤12k≤16    U   5≤12k≤14
7/12≤k≤16/12   U   5/12≤k≤14/12
k=1⇒x=π/3+2π=7π/3   U x=2π/3+2π=8π/3
----------------------------------------
проверка
x=7π/3
log(8)(7√3*sin7π/3-cos14π/3-10)=log(8)(7√3*√3/2-(-1/2)-10)=
=log(8)(10,5+0,5-10)=log(8)1=0
0=0
x=8π/3
log(8)(7√3sin8π/3-cos16π/3-10)=log(8)(7√3*√3/2-(-1/2)-10)=
=log(8)(10,5+0,5-10)=log(8)1=0
0=0

Answer 2

А) Решение уравнения log₈(7√3*sinx - cos²x - 10) = 0:

Для начала, вспомним свойство логарифма, что logₐ(b) = 0 тогда и только тогда, когда b = 1.

Поэтому, мы можем переписать уравнение как:

7√3*sinx - cos²x - 10 = 1

Перепишем cos²x как 1 - sin²x:

7√3*sinx - (1 - sin²x) - 10 = 1

Упростим:

7√3*sinx - 1 + sin²x - 10 = 1

Перегруппируем члены:

sin²x + 7√3*sinx - 12 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с переменной sinx:

(sin x + 4)(sin x - 3√3) = 0

Отсюда получаем два уравнения:

1. sin x + 4 = 0: sin x = -4 (нет решений, так как синус ограничен от -1 до 1)

2. sin x - 3√3 = 0: sin x = 3√3

Для решения этого уравнения, возьмем обратный синус (арксинус) от обеих сторон:

x = arcsin(3√3)

Таким образом, корень уравнения log₈(7√3*sinx - cos²x - 10) = 0 состоит из одного значения x = arcsin(3√3).

Б) Корни, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π]:

Рассмотрим интервал [3π/2; 3π]. В этом интервале sinx принимает значения от -1 до 0, а cosx принимает значения от 0 до 1.

Так как у нас в уравнении есть sinx и cos²x, мы можем исключить решения, где sinx положительный или cos²x равен 1.

Поэтому, нет корней данного уравнения на интервале [3π/2; 3π].