Question

Навмання вибрано два додатних числа, кожне з яких не перевищує 6. Знайти ймовірність того, що сума їх буде не більша 5, а добуток не менше 3.

Answer 1

Пусть х и у - заданные числа. Используем геометрическую вероятность. Так как х и у положительные числа и берутся из отрезка (0;6), можно, считать что точка выбирается в координатами (x,y) из квадрата на плоскости:  $(0;6)\times (0;6)$

Должны выполняться условия:

$1)~x+y \leq 5\\ 2)~ xy \geq 3$

Искомая вероятность - это отношение площади фигуры, определяемой этими ограничениями к площади квадрата, то есть, к 6*6=36.

Найдем точки пересечения двух графиков(а именно ограниченные линии)
$\displaystyle \left \{ {{x+y=5} \atop {xy=3}} \right. ~~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{x_{1,2}= \frac{5\pm \sqrt{13} }{2} } \atop {y_{1,2}=\frac{5\mp \sqrt{13} }{2}}} \right.$

Площадь фигуры, ограниченной линиями:  

$\displaystyle S= \int\limits^{\frac{5+\sqrt{13} }{2}}_{\frac{5- \sqrt{13} }{2}} {\bigg(5-x- \frac{3}{x} \bigg)} \, dx=\bigg(5x- \frac{x^2}{2}-3\ln |x|\bigg)\bigg|^{\frac{5+\sqrt{13} }{2}}_{\frac{5- \sqrt{13} }{2}} \approx3.554$

Искомая вероятность:  $P= \dfrac{3.554}{36} \approx0.1$

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі потрібно знайти спільну область задоволення обох умов: сума чисел менше або дорівнює 5 і добуток чисел більше або дорівнює 3.

Давайте спочатку з'ясуємо можливі комбінації чисел, які задовольняють обмеженням. Всі можливі комбінації будуть наступними:

(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (6, 1).

Усього є 17 можливих комбінацій.

Тепер давайте визначимо кількість комбінацій, в яких сума менше або дорівнює 5. Такі комбінації будуть наступними:

(1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1).

Таких комбінацій є 7.

Наостанок, знайдемо кількість комбінацій, в яких добуток більше або дорівнює 3. Такі комбінації будуть наступними:

(1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (6, 1).

Усього таких комбінацій є 11.

Тепер ми можемо знайти ймовірність, обчисливши відношення кількості комбінацій, що задовольняють обидві умови, до загальної кількості можливих комбінацій:

Ймовірність = (кількість комбінацій, що задовольняють умови) / (загальна кількість можливих комбінацій)

Ймовірність = 7 / 17

Ймовірність ≈ 0.4118 (або близько 41