Question

Решите неравенства (через ОДЗ) 1. log1/2(2x+5)>-3 2. log3(x2-1)<log3(x+1)+1

Answer 1

1. одз 2х+5>0 х>-2,5 огарифмируем правую часть уравнения лог одна вторая числа два икс плюс пять равно логарифм одна вторая числа одна вторая в степени минус три так как одна вторая меньше единицы,то знак неравенства меняем и получаем 2x+5<8 x<1.5 из одз следует,что х должен быть больше чем минус 2.5 из уравнения получилось ,что икс меньше полтора щначит искомый промежуток (-2.5；1.5), скобки круглый тк неравенство строгое

Answer 2

Для решения неравенств, содержащих логарифмы, необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) и применить свойства логарифмов.

1. log1/2(2x+5) > -3:

Сначала определим ОДЗ для логарифма. Так как основание логарифма равно 1/2, необходимо, чтобы выражение внутри логарифма было положительным:

2x + 5 > 0 2x > -5 x > -5/2

Теперь применим свойство логарифма: если логарифм больше некоторого числа, то его аргумент должен быть больше соответствующей степени основания. В данном случае основание равно 1/2, и мы имеем неравенство:

2x + 5 > (1/2)^(-3) 2x + 5 > 2^3 2x + 5 > 8 2x > 3 x > 3/2

Итак, ОДЗ для этого неравенства: x > -5/2, x > 3/2.

2. log3(x^2 - 1) < log3(x + 1) + 1:

Определим ОДЗ для логарифма. Выражение внутри логарифма должно быть положительным:

x^2 - 1 > 0 (x - 1)(x + 1) > 0

Это неравенство выполняется, когда x < -1 или x > 1.

Теперь применим свойство логарифма: если логарифм меньше некоторого числа, то его аргумент должен быть меньше соответствующей степени основания. В данном случае основание равно 3, и мы имеем неравенство:

x^2 - 1 < 3^(log3(x + 1) + 1) x^2 - 1 < 3 * 3^(log3(x + 1)) x^2 - 1 < 3 * (x + 1) x^2 - 1 < 3x + 3 x^2 - 3x - 4 < 0 (x - 4)(x + 1) < 0

Решив это неравенство, получим:

-1 < x < 4

Итак, ОДЗ для этого неравенства: -1 < x < 1.

Итого, решения неравенств:

1. x > -5/2, x > 3/2.
2. -1 < x < 1.