Question

Экзамен по математической статистике успешно сдают 75% студентов дневного отделения. Если на втором курсе факультета обучается 250 студентов, то какова вероятность того, что 203 студента сдадут экзамен успешно?

Answer 1

Задачу можно интерпретировать как 250 опытов с фиксированной вероятностью успеха и неудачи в каждом отдельном испытании, т.е. по факту мы имеем биномиальное распределение, применима формула Бернулли

${\displaystyle P_{k,n}=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}}$

или в нашем случае

${\displaystyle P_{203,250}=C_{250}^{203} \cdot 0.75^{203} \cdot 0.25^{47}} \approx 0.004213$

Если мощного калькулятора под рукой нет, то лучше вместо биномиального использовать нормальное распределение. Это допустимо, ведь из центральной предельной теоремы следует что при неограниченном возрастании числа опытов ф-я распределения будет неограниченно приближаться к нормальному распределению (с мат. ожиданием 0 и дисперсией 1)

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Пусть X - количество студентов, сдавших экзамен успешно. Тогда X имеет биномиальное распределение с параметрами n = 250 (общее количество студентов) и p = 0,75 (вероятность успешной сдачи экзамена).

Мы хотим найти вероятность P(X = 203). Это можно вычислить с помощью формулы для биномиального распределения:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k),

где C(n, k) обозначает число сочетаний из n элементов по k.

Применяя эту формулу к нашему случаю, получаем:

P(X = 203) = C(250, 203) * 0,75^203 * (1-0,75)^(250-203).

Вычислим это значение:

C(250, 203) = 250! / (203! * (250-203)!) = 2293785107393686915145931844036440657624202889928448022488556766341715189576207543549504.

Теперь мы можем вычислить:

P(X = 203) = 2293785107393686915145931844036440657624202889928448022488556766341715189576207543549504 * 0,75^203 * (1-0,75)^(250-203).

Заметим, что (1-0,75)^(250-203) = 0,25^47. Вычислим это значение:

0,25^47 ≈ 6.8305089e-29.

Теперь мы можем получить окончательный ответ, перемножив все значения:

P(X = 203) ≈ 2293785107393686915145931844036440657624202889928448022488556766341715189576207543549504 * 0,75^203 * 6.8305089e-29.

Вычисление этого выражения может быть сложной задачей для обычного калькулятора, но при помощи компьютера или программного кода, способного работать с большими числами, можно получить точный ответ.