Question

На клетчатой бумаге закрашен квадрат из нескольких клеток, стороны которого лежат на линиях сетки. Известно, что чтобы получить больший квадрат с таким условием, нужно дозакрасить 43 клетки. Найдите сторону исходного квадрата.

Answer 1

Площадь меньшего квадрата: S = a² (кл.²)
Площадь большего квадрата: S₁ = a₁² = (a+x)² (кл.²), 
где х - разница в длине стороны большего и меньшего квадратов.

Так как S₁ = S+47, то:
                                     (a + x)² = a² + 47
                                     a² + 2ax + x² = a² + 47
                                     x(2a + x) = 47   

Так как 47 - простое число, то существует единственное разложение этого числа на множители:
                                     47 = 47*1
Следовательно, х = 1  и  2а = 46
                                            а = 23 (кл.)        а+1 = 24 (кл.)

Проверим:
                    24² - 23² = 47
                   576 - 529 = 47
                             47 = 47   

Ответ: сторона исходного квадрата 23 клетки. 

Answer 2

Пусть сторона исходного квадрата равна n клеток. Тогда его площадь будет равна n^2.

Чтобы получить больший квадрат с таким же условием, нам нужно дозакрасить 43 клетки. Это означает, что площадь нового квадрата будет (n + k)^2, где k - количество клеток, которые мы добавляем.

Таким образом, у нас есть следующее уравнение:

(n + k)^2 = n^2 + 43

n^2 + 2nk + k^2 = n^2 + 43

2nk + k^2 = 43

Учитывая, что n и k являются целыми числами, мы можем проанализировать возможные значения для k и найти соответствующее значение n.

Заметим, что k и n должны быть положительными, поскольку мы добавляем клетки, чтобы получить больший квадрат. Кроме того, n + k > n, поэтому n + k > √(n^2 + 43).

Переберем возможные значения для k, начиная с 1:

Для k = 1, получим: 2n + 1 = 43 2n = 42 n = 21

Проверяем: (21 + 1)^2 = 22^2 = 484 21^2 + 43 = 441 + 43 = 484

Таким образом, сторона исходного квадрата равна 21 клетке.