Question

При яких значенях a має корені рівняння cos^2x - cos x + a- a^2

Answer 1

cos^2 x - cos x + (a-a^2) = 0

Это квадратное уравнение относительно cos x.

D = 1 - 4(a-a^2) = 4a^2 - 4a + 1 = (2a-1)^2

cos x1 = (1 - 2a + 1)/2 = 1 - a

cos x2 = (1 + 2a - 1)/2 = a

Корни будут тогда, когда хотя бы одно значение лежит от - 1 до 1.

1} 1 - a € [-1; 1]; a € [0; 2]

2) a € [-1; 1]

При а € [-1; 0) будет один корень.

При а € [0; 1] будет два корня.

При а € (1; 2] будет один корень.

При всех других а корней нет.

Answer 2

Розглянемо квадратне рівняння $\cos^2 x - \cos x + a - a^2 = 0$ відносно невідомого $x$. Щоб визначити значення $a$, при яких рівняння має корені, ми можемо розглянути дискримінант цього рівняння.

Дискримінант квадратного рівняння $ax^2 + bx + c = 0$ визначається формулою $D = b^2 - 4ac$. В нашому випадку $a = 1$, $b = -1$, $c = a - a^2$, тому дискримінант має вигляд:

$D = (-1)^2 - 4(1)(a - a^2) = 1 - 4(a - a^2) = 1 - 4a + 4a^2.$

Рівняння має розв'язки, коли дискримінант $D \geq 0$. Тобто, ми маємо нерівність:

$1 - 4a + 4a^2 \geq 0.$

Цю нерівність можна розкласти на множники, факторизуючи вираз:

$(2a - 1)^2 \geq 0.$

Так як квадрат будь-якого числа є невід'ємним, то $(2a - 1)^2 \geq 0$ для будь-якого значення $a$. Отже, рівняння $\cos^2 x - \cos x + a - a^2 = 0$ має корені для всіх значень $a$.

Таким чином, немає обмежень на значення $a$, при яких рівняння має корені. Воно має корені для будь-якого $a$ з дійсних чисел.