Question

Найдите общий вид первообразной. a) f(x)=-2x^3+1/3x^2-1 б) z(x)=4^x+6^2x

Answer 1

РЕШЕНИЕ
а)
$F(x)= \int\limits {(-1+ \frac{1}{3} x^2- 2x^3) } \, dx=- \frac{x}{1}+ \frac{1}{3} \frac{x^3}{3}- \frac{2x^4}{4}=-x+ \frac{x^3}{9}- \frac{x^4}{2}+C$
б)
$F(x)= \int\limits {4^x+ 6^{2x} } \, dx= \frac{ 6^{2x} }{2log6}+ \frac{4^x}{log4}$

Answer 2

a) Для функции f(x)=-2x^3+1/3x^2-1, найдем общий вид первообразной.

Чтобы найти первообразную функцию F(x) для f(x), мы должны найти функцию, производная которой равна f(x).

Для каждого члена f(x) мы применяем правила интегрирования:

∫(-2x^3) dx = -1/2 * ∫(2x^3) dx = -1/2 * (1/4)x^4 + C1 = -1/8x^4 + C1

∫(1/3x^2) dx = 1/3 * ∫(x^2) dx = 1/3 * (1/3)x^3 + C2 = 1/9x^3 + C2

∫(-1) dx = -x + C3

Где C1, C2 и C3 - константы интегрирования.

Теперь суммируем полученные результаты:

F(x) = -1/8x^4 + 1/9x^3 - x + C

Где C - константа интегрирования, которую мы объединили с другими константами.

Таким образом, общий вид первообразной функции f(x)=-2x^3+1/3x^2-1 равен F(x) = -1/8x^4 + 1/9x^3 - x + C.

b) Для функции z(x)=4^x+6^(2x), найдем общий вид первообразной.

Чтобы найти первообразную функцию Z(x) для z(x), мы должны найти функцию, производная которой равна z(x).

Для каждого члена z(x) мы применяем правила интегрирования:

∫(4^x) dx - здесь мы должны использовать технику подстановки. Пусть u = 4^x, тогда du = (ln 4) * 4^x dx. Мы можем переписать интеграл в следующем виде:

∫(1/u) * du = ln |u| + C1 = ln |4^x| + C1 = ln (4^x) + C1 = x ln 4 + C1

∫(6^(2x)) dx - здесь мы также должны использовать технику подстановки. Пусть v = 6^x, тогда dv = (ln 6) * 6^x dx. Мы можем переписать интеграл в следующем виде:

∫(v^2) * (1/(ln 6)) * dv = (1/(ln 6)) * (1/3) * v^3 + C2 = (1/(3 ln 6)) * (6^x)^3 + C2 = (1/(3 ln 6)) * 6^(3x) + C2

Теперь суммируем полученные результаты:

Z(x) = x ln 4 + (1/(3 ln