Question

при каких значениях параметра a и b в записе многочлена (x^3+ax^2+2x+1)(x^2-b) в стандартном виде коэфиценты при одночленах x^3 и x^2 равны нулю

Answer 1

При раскрытии скобок коэффициенты при данных одночленах будут:
x^3*(2-b)
x^2*(1-ab)
Значит:
2-b=0
1-ab=0 - это система
Получаем ответ: b = 2, a = 0.5

Answer 2

Для многочлена вида $(x^3 + ax^2 + 2x + 1)(x^2 - b)$, чтобы коэффициенты при одночленах $x^3$ и $x^2$ равнялись нулю, мы должны найти значения параметров $a$ и $b$, при которых это выполняется.

Раскрывая скобки, получаем:

$(x^3 + ax^2 + 2x + 1)(x^2 - b) = x^5 - bx^3 + ax^4 - abx^2 + 2x^3 - 2bx + x^2 - b$

Сгруппируем одночлены с одинаковыми степенями $x$:

$x^5 + (a - b)x^4 + (-2 + 2a - b)x^3 + (1 + a - b)x^2 + (-2b)x - b$

Для того чтобы коэффициенты при $x^3$ и $x^2$ были равны нулю, должны выполняться следующие условия:

$a - b = 0$ (коэффициент при $x^3$ равен нулю) $-2 + 2a - b = 0$ (коэффициент при $x^2$ равен нулю)

Решая эти уравнения одновременно, получим значения параметров $a$ и $b$:

$a - b = 0 \implies a = b$

$-2 + 2a - b = 0$

Заменим $a$ на $b$ во втором уравнении:

$-2 + 2b - b = 0$

Упростим:

$-2 + b = 0$

$b = 2$

Таким образом, при $a = 2$ и $b = 2$ коэффициенты при одночленах $x^3$ и $x^2$ в записи многочлена равны нулю.