Question

Найдите наибольшее из коэффицентов а и Б кубического многочлена x3+ax2+Бx+4, имеющего три различных корня, два из которых являются корнями квадратного трёх члена x2+2x-1

Answer 1

Представим данное выражение в виде разложения на множители

$x^3+ax^2+bx+4=(x-x_1)(x^2+2x-1)$

где $x_1$ — неизвестный корень. Тогда

$x^3+ax^2+bx+4=x^3+2x^2-x-x_1x^2-2xx_1+x_1=\\ \\ \\ =x^3+x^2(2-x_1)+x(-1-2x_1)+x_1$

Приравниваем коэффициенты при степени x

$\begin{cases}&\text{}2-x_1=a\\&\text{}-1-2x_1=b\\&\text{}x_1=4\end{cases}~~~\Rightarrow~~~~\begin{cases}&\text{}a=-2\\&\text{}b=-9\\&\text{}x_1=4\end{cases}$

Откуда наибольшее значение из коэффициентов a,b равно -2.

Ответ: -2.

Answer 2

Для нахождения наибольшего коэффициента а и Б в кубическом многочлене x^3 + ax^2 + Бx + 4, имеющего три различных корня, два из которых являются корнями квадратного трёхчлена x^2 + 2x - 1, мы можем использовать связь между коэффициентами многочленов и их корнями.

Дано, что x^2 + 2x - 1 имеет два корня. Обозначим эти корни как r1 и r2.

Коэффициенты квадратного многочлена связаны с его корнями следующим образом: x^2 + 2x - 1 = (x - r1)(x - r2) = x^2 - (r1 + r2)x + r1r2

Из данного равенства мы можем сопоставить коэффициенты и корни: r1 + r2 = -2 r1r2 = -1

Таким образом, для кубического многочлена x^3 + ax^2 + Бx + 4, который имеет три различных корня, мы можем использовать связь между суммой корней и коэффициентом перед x^2: r1 + r2 + r3 = -a

Мы знаем, что два корня квадратного многочлена являются корнями кубического многочлена, поэтому r1 и r2 также являются корнями кубического многочлена. Это означает, что: r1 + r2 + r3 = -a

Таким образом, для нахождения наибольшего значения а, мы должны найти наибольшую возможную сумму корней. Поскольку r1 + r2 = -2, чтобы получить наибольшую сумму, r3 должно быть наименьшим возможным корнем.

Так как x^3 + ax^2 + Бx + 4 имеет три различных корня, среди которых два являются корнями x^2 + 2x - 1, то третий корень является уникальным и не может быть равным r1 или r2.

Итак, чтобы найти наименьший корень, мы можем использовать систему уравнений, связывающих коэффициенты квадратного и кубического многочленов: r1 + r2 + r3 = -a r1r2 = -1 r1 + r2 = -2

Из этих уравнений, можно получить значение третьего корня r3 и, следовательно, значение a.

Решая систему уравнений