Question

Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см . Из его высоты построен второй треугольник . Во второй треугольник таким же способом вписан третий и т.д. Докажите что периметры треуольников образуют геометрическую прогрессию ю Найдите периметр восьмого треугольника

Answer 1

Высота 1 треугольника равна h1 = a*√3/2 = 8*√3/2 = 4√3
Из этих высот построен 2 треугольник.
Его высота h2 = h1*√3/2 = 4√3*√3/2 = 2*3 = 6
И так далее.
Стороны треугольников образуют геометрическую прогрессию
b1 = 8; q = √3/2. Периметры тоже образуют геометрическую прогрессию.
Сторона 8 треугольника
b8 = b1*q^7 = 8*(√3)^7/2^7 = 2^3*3^3*√3/2^7 = 3^3*√3/2^4 = 27√3/16
Периметр 8 треугольника
P = 3*b8 = 3*27√3/16 = 81√3/16

Answer 2

Для доказательства, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию, рассмотрим первый, второй и третий треугольники.

Первый треугольник является равносторонним, поэтому его периметр равен 3 * 8 см = 24 см.

Второй треугольник построен вписыванием в высоту первого треугольника. Поскольку первый треугольник равносторонний, высота делит его на два равнобедренных треугольника. Второй треугольник получается подобным первому треугольнику с коэффициентом подобия, равным половине. Таким образом, периметр второго треугольника будет равен половине периметра первого треугольника, то есть 12 см.

Аналогично, третий треугольник будет получен вписыванием в высоту второго треугольника. Третий треугольник будет подобен второму с коэффициентом подобия, равным половине. Значит, периметр третьего треугольника будет равен половине периметра второго треугольника, то есть 6 см.

Таким образом, периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2.

Чтобы найти периметр восьмого треугольника, можно использовать формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

S = a / (1 - r),

где S - сумма прогрессии, a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии.

В данном случае первый член прогрессии равен 24 см, а знаменатель равен 1/2.

Таким образом, периметр восьмого треугольника будет:

S = 24 / (1 - 1/2) = 24 / (1/2) = 48 см.

Периметр восьмого треугольника составляет 48 см.