Question

Точка M равноудалена от вершин C и D прямоугольника ABCD. Из точки M к стороне AB проведён перпендикуляр MN. Доказать что плоскость прямоугольника перпендикулярна плоскости MNO где O-точка пересечения диагоналей прямоугольника . Пожалуйста помогите

Answer 1

Множество точек равноудаленных от концов отрезка образует плоскость перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину.

Таким образом, точка M находится на этой плоскости по определению.

Поскольку AB параллельна CD (по определению прямоугольника), то эта плоскость также является перпендикулярной к AB и проходит через ее середину, таким образом перпендикуляр N лежит в этой же плоскости и делит AB пополам.

Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам и эта точка равноудалена от всех вершин, а следовательно тоже принадлежит плоскости равноудаленных точек.

Таким образом, мы установили что все три точки из условия принадлежат одной и той же плоскости, которая перпендикулярна плоскости прямоугольника.

НО!!! Данное доказательство работает только при условии, что точка M не принадлежит плоскости прямоугольника. В противном случае - M=середина CD и точки M N O лежат на одной прямой в плоскости прямоугольника. В этом случае утверждение задачи в строгом смысле не верно.

Answer 2

Для доказательства перпендикулярности плоскости прямоугольника ABCD и плоскости MNO, мы можем воспользоваться следующими шагами:

Шаг 1: Докажем, что вектора MN и NO коллинеарны. Поскольку MN - перпендикуляр, он будет коллинеарен с вектором NO, проведенным от точки M до точки пересечения диагоналей прямоугольника. Это можно легко увидеть, рассмотрев прямоугольный треугольник MON, где MN - гипотенуза, а NO - один из катетов. Таким образом, вектора MN и NO коллинеарны.

Шаг 2: Докажем, что векторы MN и AB коллинеарны. Поскольку MN - перпендикуляр к стороне AB прямоугольника, он будет коллинеарен с вектором AB. Это можно заметить, рассмотрев прямоугольный треугольник MAB, где MN - гипотенуза, а AB - один из катетов. Таким образом, вектора MN и AB коллинеарны.

Шаг 3: Следует отметить, что плоскость, проходящая через прямоугольник ABCD, перпендикулярна векторам AB и AD (или BC и AD, или AB и CD, или BC и CD, так как прямоугольник имеет прямые углы). Из шага 2 мы знаем, что вектор MN коллинеарен вектору AB. Следовательно, плоскость MNO перпендикулярна плоскости, проходящей через прямоугольник ABCD.

Таким образом, мы доказали, что плоскость прямоугольника ABCD перпендикулярна плоскости MNO.