Question

Помогите решить пример: cos^8a-sin^8a если cos2a = 1/3

Answer 1

Відповідь:

$\frac{5}{27}.$

Покрокове пояснення:

$\cos^8a-\sin^8a=(\cos^4a+\sin^4a)(\cos^4a-\sin^4a)=\\\left((\cos^2a+\sin^2a)^2-2\cos^2a\sin^2a\right)(\cos^2a-\sin^2a)(\cos^2a+\sin^2a)=\\\left(1-\frac{1}{2}\sin^22a\right)\cos2a=\left(1-\frac{1}{2}(1-\cos^22a)\right)\cos2a=\\\left(1-\frac{1}{2}(1-\frac{1}{9})\right)\cdot\frac{1}{3}=\frac{5}{9}\cdot\frac{1}{3}=\frac{5}{27}.$

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся формулами тригонометрии и алгебраическими преобразованиями. Начнем с формулы двойного угла для косинуса:

cos(2a) = 1/3

Мы знаем, что:

cos(2a) = 2cos^2(a) - 1

Подставим значение cos(2a) в это уравнение:

2cos^2(a) - 1 = 1/3

Упростим уравнение:

2cos^2(a) = 4/3

cos^2(a) = 2/3

Теперь найдем значение sin^2(a) с помощью тождества Пифагора:

sin^2(a) = 1 - cos^2(a) = 1 - 2/3 = 1/3

Используя формулу:

cos^8(a) - sin^8(a) = (cos^2(a))^4 - (sin^2(a))^4

Подставим значения cos^2(a) и sin^2(a):

(2/3)^4 - (1/3)^4

Упростим:

(16/81) - (1/81) = 15/81 = 5/27

Таким образом, получаем:

cos^8(a) - sin^8(a) = 5/27