Question

Составьте уравнения прямых, проходящей через точки A и B, C и D, определяемые своими координатами. Будут ли эти прямые пераллельными или перпендикулярнами? Если эти прямые пересекаются, то найдите точку пересечения. A (7, 1) B (2, 4) С (3, 4) D (-1, 8) Заранее спасибо

Answer 1

$AB: \frac{x-2}{7-2} = \frac{y-4}{1-4} =\ \textgreater \ 5(y-4)=-3(x-2)=\ \textgreater \ \\=\ \textgreater \ 5y-20=6-3x=\ \textgreater \ 5y+3x-26=0\\ CD: \frac{x+1}{3+1} = \frac{y-8}{4-8} =\ \textgreater \ 4(y-8)=-4(x+1)=\ \textgreater \ \\=\ \textgreater \ y-8=-x-1=\ \textgreater \ y+x-7=0$

АВ: 5y + 3x - 26 = 0
CD: y + x - 7 = 0

т.к. координаты не пропорциональны, то прямые не параллельны

5 * 1 + 3 * 1 = 8 ≠ 0 => прямые не перпендикулярны

найдем точку пересечения

y = 7 - x
5(7-x) + 3x - 26 = 0
35 - 5x + 3x - 26 = 0
2x = 9
x = 4,5

y = 7 - 4,5 = 2,5

Ответ: (4,5; 2,5) - точка пересечения

Answer 2

Для составления уравнения прямой, проходящей через две точки, можно использовать формулу наклона прямой (slope-intercept form):

y - y₁ = m(x - x₁),

где (x₁, y₁) и (x, y) - координаты точек A и B (или C и D), а m - наклон прямой.

Для точек A(7, 1) и B(2, 4):

m = (y - y₁) / (x - x₁) = (4 - 1) / (2 - 7) = 3 / -5 = -3/5.

Теперь можем записать уравнение прямой AB:

y - 1 = (-3/5)(x - 7).

Распишем и упростим:

y - 1 = (-3/5)x + (21/5), y = (-3/5)x + 21/5.

Аналогично для точек C(3, 4) и D(-1, 8):

m = (8 - 4) / (-1 - 3) = 4 / -4 = -1.

Уравнение прямой CD:

y - 4 = (-1)(x - 3), y - 4 = -x + 3, y = -x + 7.

Теперь определим, будут ли эти прямые параллельными или перпендикулярными.

Прямые AB и CD имеют разные наклоны: -3/5 и -1 соответственно. Поэтому они не будут ни параллельными, ни перпендикулярными.

Для определения точки пересечения прямых, решим систему уравнений AB и CD:

(-3/5)x + 21/5 = -x + 7.

Перенесем все члены с x в левую часть:

(-3/5)x + x = 7 - 21/5, (-3/5 + 5/5)x = 35/5 - 21/5, (2/5)x = 14/5.

Умножим обе части на 5/2 для упрощения:

x = (14/5) * (5/2), x = 14/2, x = 7.

Подставим x = 7 в уравнение AB:

y = (-3/5)(7) + 21/5, y = -21/5 + 21/5, y = 0.

Таким образом, точка пересечения прямых AB и CD равна (7, 0).