Question

 Известный бизнесмен Андрей Крутой пришел в Госбанк, чтобы обменять несколько 50- и 100- долларовых купюр старого образца. Ему было выдано 1999 купюр достоинством 1, 5 и 25 долларов. Докажите, что его обсчитали.

Answer 1

Считаем так: из числа 1999 вычтем 1 и 5, пусть этих купюр было по одной.
Сумма старых купюр кратна 50, тех, которые он принёс в банк.
Тогда число 1999-1-5=1993 умножим на 25, так как других купюр нет, получится число, оканчивающееся на 75, а такого быть не может. Вывод: его обсчитали.

Answer 2

Давайте посмотрим на количество купюр каждого достоинства, выданных Андрею Крутому:

Пусть x обозначает количество купюр достоинством 1 доллар, y - количество купюр достоинством 5 долларов, а z - количество купюр достоинством 25 долларов.

Из условия известно, что Андрею Крутому выдали 1999 купюр. Мы можем записать это в виде уравнения:

x + y + z = 1999 --- (уравнение 1)

Также известно, что Андрею Крутому выдали купюры достоинством 50 и 100 долларов старого образца. Это означает, что сумма выданных купюр этих достоинств должна быть кратна 50:

50m + 100n = сумма купюр достоинством 50 и 100 долларов

Используя указанные достоинства, мы можем переписать это уравнение в следующем виде:

1x + 5y + 25z = 50m + 100n --- (уравнение 2)

Теперь давайте рассмотрим остаток от деления левой и правой части уравнения 2 на 25:

(1x + 5y + 25z) % 25 = (50m + 100n) % 25

Так как 25z кратно 25, остаток от деления левой части будет равен остатку от деления (1x + 5y) % 25:

(1x + 5y) % 25 = (50m + 100n) % 25

Поскольку 50 и 100 кратны 25, остаток от деления правой части будет равен 0:

(1x + 5y) % 25 = 0

Это означает, что сумма 1x + 5y должна быть кратна 25.

Однако, мы знаем, что Андрею Крутому выдали только купюры достоинством 1, 5 и 25 долларов, которые не делятся на 25. Следовательно, сумма 1x + 5y не может быть кратна 25.

Таким образом, мы пришли к противоречию, и это доказывает, что Андрея Крутого обсчитали при обмене его купюр старого образца.