Question

решить уравнение cosx×ctgx-ctgx-sinx=0 Записать в градусах корень принадлежащий [0°усах корень принадлежащий [0°; 180°]

Answer 1

Cos²x/sinx-cosx/sinx-sinx=0
sinx≠0⇒x≠πn
cos²x-cosx-sin²x=0
cos²x-cosx-1+cos²x=0
2cos²x-cosx-1=0
cosx=a
2a²-a-1=0
D=1+8=9
a1=(1-3)/4=-1/2⇒cosx=-1/2⇒x=+-2π/3+2πn
a2=(1+3)/4=1⇒cosx=1⇒x=2πn
1)0≤-2π/3+2πn≤π
0≤-2+6n≤3
2≤6n≤5
1/3≤n≤5/6
нет решения на интервале
2)0≤2π/3+2πn≤π
0≤2+6n≤3
-2≤6n≤1
-1/3≤n≤1/6
n=0⇒x=2π/3
3)0≤2πn≤π
0≤n≤1/2
нет решения на интервале

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте преобразуем его:

cos(x) * ctg(x) - ctg(x) - sin(x) = 0

Мы можем заменить ctg(x) на 1/tan(x):

cos(x) * (1/tan(x)) - (1/tan(x)) - sin(x) = 0

Упростим выражение, умножив каждое слагаемое на tan(x):

cos(x) - sin(x) * tan(x) - sin(x) = 0

Теперь выражение выглядит так:

cos(x) - sin(x) * (sin(x) / cos(x)) - sin(x) = 0

Раскроем скобки:

cos(x) - sin^2(x)/cos(x) - sin(x) = 0

Умножим все слагаемые на cos(x), чтобы избавиться от знаменателя:

cos^2(x) - sin^2(x) - sin(x) * cos(x) = 0

Используем тригонометрическую тождественность sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

1 - sin^2(x) - sin(x) * cos(x) = 0

Теперь получившееся уравнение является квадратным относительно sin(x). Пусть sin(x) = t:

1 - t^2 - t * cos(x) = 0

Теперь решим это квадратное уравнение относительно t:

t^2 + t * cos(x) - 1 = 0

Для нахождения корней этого уравнения воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = cos(x), c = -1.

D = cos^2(x) - 4 * 1 * (-1) D = cos^2(x) + 4

Теперь рассмотрим два случая:

1. D > 0: В этом случае у нас есть два различных корня.

   t1 = (-b + √D) / (2a) t2 = (-b - √D) / (2a)

   t1 = (-cos(x) + √(cos^2(x) + 4)) / 2 t2 = (-cos(x) - √(cos^2(x) + 4)) / 2

2. D = 0: В этом случае у нас есть один корень.

   t = -b / (2a) = -cos(x) / 2

Теперь найдем значения sin(x) для каждого из этих корней t1, t2 и t.

1. t1 = (-cos(x) + √(cos^2(x) + 4)) / 2: sin(x) = t1

2. t2 = (-cos(x) - √(cos^2(x) + 4)) / 2: sin(x) = t2

3. t = -cos(x) / 2: sin(x)