Question

(6x² - 13x + 6)2 - 10(6x² - 13x) = 53; Как решить?

Answer 1

Пусть $6x^2-13x=t$, тогда получим

$(t+6)^2-10t=53\\ t^2+12t+36-10t-53=0\\ t^2+2t-17=0\\ D=4+4\cdot 17=4\cdot18\\ t_{1,2}=-1\pm3\sqrt{2}$

Возвращаемся к обратной замене

$6x^2-13x=-1-3\sqrt{2} \\ 6x^2-13x+1+3\sqrt{2} =0\\ D=169-4\cdot 6\cdot(1+3\sqrt{2} )=145-72\sqrt{2} \\ x_{1,2}=\dfrac{13\pm\sqrt{145-72\sqrt{2} }}{12} \\ \\ 6x^2-13x=-1+3\sqrt{2} \\ 6x^2-13x+1-3\sqrt{2} =0\\ D=169-4\cdot6\cdot(1-3\sqrt{2} )=145+72\sqrt{2} \\ x_{3,4}=\dfrac{13\pm\sqrt{145+72\sqrt{2} }}{12}$

Answer 2

Давайте решим это уравнение по шагам.

1. Начнем с раскрытия скобок:

(6x² - 13x + 6)² - 10(6x² - 13x) = 53

Раскроем квадрат первого слагаемого:

(36x^4 - 78x^3 + 36x^2 - 78x^3 + 169x^2 - 78x + 36) - 10(6x² - 13x) = 53

Упростим:

36x^4 - 156x^3 + 205x^2 - 158x + 36 - 60x^2 + 130x = 53

2. Сгруппируем подобные слагаемые:

36x^4 - 156x^3 + (205x^2 - 60x^2) + (-158x + 130x) + 36 = 53

36x^4 - 156x^3 + 145x^2 - 28x + 36 = 53

3. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

36x^4 - 156x^3 + 145x^2 - 28x + 36 - 53 = 0

36x^4 - 156x^3 + 145x^2 - 28x - 17 = 0

4. Теперь у нас есть квадратное уравнение. Давайте попробуем решить его. Однако обратите внимание, что это квадратное уравнение в переменной x^2, а не x. Поэтому введем новую переменную:

y = x^2

Тогда наше уравнение примет вид:

36y^2 - 156y + 145y - 28y - 17 = 0

36y^2 - 11y - 17 = 0

5. Решим это квадратное уравнение, используя методы факторизации, формулу квадратного трехчлена или квадратное уравнение.

Однако данное уравнение не имеет рациональных корней. Поэтому воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Где a = 36, b = -11 и c = -17. Подставим значения:

y = (-(-11) ± √((-11)^2 - 4 * 36 * -17)) / (2 * 36)

y = (11 ± √(121 + 2448)) / 72

y = (11 ± √2569) / 72

6. Получаем два значения для y. Подставим каждое из них обратно в уравнение y = x^2 и решим уравнения относительно x:

Для y = (11 + √2569) / 72:

(11 + √2569)