Question

Окружность, вписанная в треугольник ABC, делит его сторону AB на отрезки AD и DB с длинами 5 см и 3 см соответственно. Величина, угла A равна 60 гр.. Найдите длину стороны BC.

Answer 1

Проведем OD, OK и OE - перпендикуляры к сторонам треугольника. Они являются  радиусами окружности. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки, ВК = BD = 3, AD = AE = 5, CK = CE = x.
AO - биссектриса ∠А ⇒∠ОАЕ = 30°.
Из ΔОАЕ: r = OE = AE*tg30° = 5/√3
p = x + 8 - полупериметр
Запишем площадь треугольника двумя способами:
S = pr = 1/2 AB*AC*sin∠A
(x + 8)*5/√3 = 1/2*8*(x + 5)*√3/2
5(x + 8) = 6(x + 5)
5x + 40 = 6x + 30
x = 10 ⇒  BC = 3+10 = 13

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся свойствами треугольника, в котором вписана окружность.

Пусть точка M является точкой касания окружности с стороной AB, а точка O - центр окружности.

Так как AM и BM - радиусы окружности, они равны друг другу. Поэтому AM = BM = 3 см.

Также известно, что угол A равен 60 градусов. Так как AM является радиусом, то угол AMB является половиной угла A. Значит, угол AMB равен 30 градусам.

Теперь мы можем использовать тригонометрическое соотношение для нахождения длины стороны BC.

В треугольнике AMB противолежащая сторона равна MB (3 см), а угол противолежащий этой стороне равен 30 градусам.

Используя тригонометрическую функцию тангенса (тангенс угла равен отношению противолежащей стороны к прилежащей), получим следующее уравнение:

tan(30 градусов) = MB / BC

Тангенс 30 градусов равен √3 / 3. Подставим это значение в уравнение:

√3 / 3 = 3 см / BC

Теперь решим это уравнение относительно BC:

BC = 3 см / (√3 / 3) = 9 см / √3 = (9√3) / 3 = 3√3 см

Таким образом, длина стороны BC равна 3√3 см.