Question

Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. 0, x<=0; F(x)= x^2/4, 0 1, x>2.

Answer 1

$f(x)=F'(x)\\\\F(x)=\left\{\begin{array}{l}0\; ,\; esli\; x\leq 0\; ,\\\frac{x^2}{4}\; ,\; esli\; 0$

$M(X)=\int \limits _0^2\, x\cdot \frac{x}{2}\, dx= \frac{x^3}{6}\Big |_0^2= \frac{8}{6}=\frac{4}{3}\\\\D(X)= \int\limits^2_0 x^2\cdot \frac{x}{2}\, dx-(M(X))^2= \frac{x^4}{8}\Big |_0^2- \frac{16}{9}=2-\frac{16}{9}=\frac{2}{9}$

Answer 2

Для нахождения плотности распределения вероятностей (probability density function, PDF) функции распределения F(x), нам необходимо вычислить производную функции распределения F(x) по x.

В данном случае функция распределения F(x) задана следующим образом:

F(x) = 0, x <= 0 F(x) = x^2/4, 0 < x <= 2 F(x) = 1, x > 2

Чтобы вычислить плотность распределения вероятностей, мы должны взять производную функции распределения по x на интервалах, где она определена. Поскольку функция распределения F(x) является кусочно-гладкой, мы будем иметь несколько случаев для вычисления производной на разных интервалах.

На интервале (0, 2) функция распределения F(x) представлена выражением F(x) = x^2/4. Чтобы найти плотность распределения вероятностей для этого интервала, мы должны взять производную от F(x) по x:

f(x) = d/dx (x^2/4) = (2x)/4 = x/2, где 0 < x <= 2.

На интервале (2, +∞) функция распределения F(x) равна 1, и в этом случае плотность распределения вероятностей равна нулю:

f(x) = 0, где x > 2.

На интервале (-∞, 0) функция распределения F(x) равна 0, и в этом случае плотность распределения вероятностей также равна нулю:

f(x) = 0, где x <= 0.

Теперь, когда мы нашли плотность распределения вероятностей для всех интервалов, мы можем рассчитать математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Математическое ожидание E(X) вычисляется следующим образом:

E(X) = ∫(x * f(x)) dx,

где f(x) - плотность распределения вероятностей.

Поскольку плотность распределения вероятностей f(x) равна нулю на интервалах (-∞, 0) и (2, +∞), мы можем вычислить математическое ожидание только на интервале (0, 2):

E(X) = ∫(x * (x/2)) dx, где 0 < x <= 2.

Дисперсия Var(X) вычисляется следующим образом:

Var(X) = E(X^2) - (E