Question

Помогите решить или хоть на мысль как это решается наведите, пожалуйста. Задано уравнение двух сторон прямоугольника x - 2y - 3 = 0, 2x + y + 4 = 0, и одна его вершина А( 4; -2). Записать уравнение всех остальных его сторон и вычислить площадь прямоугольника.

Answer 1

Рисунок к задаче и расчет - в приложении.

Answer 2

(1) x-2y-3=0

(2) 2x+y+4=0

Преобразуем

(1) y=x/2-3/2

(2) y=-2x-4

Тангенс угла наклона 1й прямой(стороны) 1/2

Тангенс угла наклона 2й прямой(стороны) - 2

Это означает, что эти стороны перпендикулярны.

Находим точку их пересечения(вершину С прямоугольника ABCD)

x/2-3/2=-2x-4 =>x-3=-4x-8 => 5x=-5 =>

x=-1 подставим значение x в одно из уравнений, скажем во 2е. Получим y=-2

Таким образом вершина С(-1,-2)

Сравниваем с заданной вершиной А(4,-2).

Координаты по оси Oy совпадают, а поскольку уже найденные перпендикулярные стороны наклонены по отношению к координатным осям, то вывод, что эти точки являются противоположными вершинами прямоугольника.

Тогда уравнения другой пары сторон будем искать в виде

(3) y=x/2+b

(4) y=-2x+b

то есть как прямые параллельные уже найбенным. Подставляем координаты точки А в эти уравнения

(3) -2=4/2+b => b=-4

(4) - 2=-8+b => b=6

Уравнения второй пары сторон

(3) y=x/2-4

(4) y=-2x+6

Точка пересечения 3й и 2й дадут вершину B

x/2-4=-2x-4 => x=0 и y=-4

Точка B(0,-4)

Длина AB=√((4-0)²+(-2+4)²)=√(16+4)=√20

Длина ВС=√((0+1)²+(-4+2)²)=√(1+4)=√5

Тогда площадь прямоугольника

√20×√5=√100=10

Answer 3

Для решения этой задачи нам понадобятся уравнения прямых, содержащих стороны прямоугольника.

Изначально у нас есть два уравнения, задающих две стороны прямоугольника:

1. x - 2y - 3 = 0
2. 2x + y + 4 = 0

Чтобы найти остальные стороны прямоугольника, нам нужно найти две прямые, перпендикулярные данным сторонам.

Для этого мы можем использовать свойство перпендикулярности, которое гласит, что если у двух прямых произведение коэффициентов при x и y равно -1, то они будут перпендикулярны.

Таким образом, чтобы найти уравнение прямой, перпендикулярной заданной прямой с уравнением Ax + By + C = 0, мы можем изменить знаки коэффициентов и поменять их местами:

• коэффициент при x станет коэффициентом при y,
• коэффициент при y станет коэффициентом при x.

Таким образом, уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой, будет иметь вид -Bx + Ay + D = 0, где D - новый коэффициент.

Для первой стороны прямоугольника с уравнением x - 2y - 3 = 0, найдем уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне: -(-2)x + 1y + D1 = 0, 2x + y + D1 = 0.

Аналогично для второй стороны прямоугольника с уравнением 2x + y + 4 = 0, получим: -1x + 2y + D2 = 0.

Теперь у нас есть уравнения всех сторон прямоугольника:

1. x - 2y - 3 = 0 (дано)
2. 2x + y + 4 = 0 (дано)
3. 2x + y + D1 = 0
4. -x + 2y + D2 = 0

Чтобы найти вершину B прямоугольника, нам дана одна вершина A(4, -2). Вершина B должна быть на одной из прямых, перпендикулярных стороне AB, а значит, она должна удовлетворять уравнению прямой 2x + y + D1 = 0 или уравнению прямой -