Question

Пусть в треугольнике ABC проведена биссектриса AK угла A.Докажите что AB:AC=KB:KC.Какие следствия можно получить из этого равенства?Верно ли обратное утверждение?Можно ли получить доказательство без использования теоремы синусов?

Answer 1

Пусть угол АКВ=х, тогда уголАКС=180-х 
Рассмотрим треугольник АВК по теореме синусов ВК:sin(А/2)=АВ:sinх 
Отсюда sin(А/2)=(ВК*sinх)/АВ 
Рассмотрим треугольник АКС по теореме син КС:sin(А/2)=АС:sin(180-х) 
Отсуда sin(А/2)=(КС*sin(180-х))/АС 
Левые части равны, равны и правые (ВК*sinх)/АВ= (КС*sin(180-х))/АС 
sin(180-х)=sinх Значит ВК:АВ= КС:АС Осюда АВ:АС=ВК:КС 
Следствия: АС:АВ=КС:КВ АВ*КС=АС*КВ

Answer 2

Для доказательства равенства AB:AC = KB:KC, рассмотрим треугольник ABC.

По определению биссектрисы, биссектриса AK делит угол A на два равных угла. Обозначим точку пересечения биссектрисы с стороной BC как точку K.

Теперь рассмотрим прямую BK. Поскольку AK является биссектрисой угла A, она делит сторону BC пропорционально отношению длин сторон AB и AC, то есть:

BK:KC = AB:AC.

Теперь докажем, что треугольники ABK и ACK подобны.

По условию, угол BAK равен углу KAC, так как AK является биссектрисой. Угол BKA и угол CKA являются вертикальными углами и поэтому равны.

Таким образом, у треугольников ABK и ACK два угла равны, следовательно, эти треугольники подобны по признаку угловой подобности.

Из подобия треугольников ABK и ACK следует, что их стороны пропорциональны, поэтому:

AB:AK = AK:AC,

или

AB:AC = AK:AK.

Так как AK равно самому себе, мы получаем:

AB:AC = 1:1,

то есть AB:AC = KB:KC.

Таким образом, равенство AB:AC = KB:KC доказано.

Следствия из этого равенства:

1. Если AB > AC, то KB > KC. Если AB < AC, то KB < KC. То есть, сторона BK будет больше стороны CK, если сторона AB больше стороны AC, и наоборот.

2. Если AB = AC, то KB = KC. То есть, если сторона AB равна стороне AC, то сторона BK будет равна стороне CK.

Обратное утверждение, что равенство AB:AC = KB:KC влечет за собой проведение биссектрисы AK, не всегда верно. Это равенство выполняется только в случае, когда биссектриса AK делит сторону BC пропорционально длинам сторон AB и AC.